數(shù)學思想在不等式證明中的應用

摘 要：在不等式證明過程中，運用熟悉的各種數(shù)學思想和數(shù)學方法，比如函數(shù)思想、方程思想、整體思想等，以便尋找結論成立的充分條件，最終使問題得以解決.

關鍵詞：不等式證明；數(shù)學思想；函數(shù)思想；輔助函數(shù)

在現(xiàn)實世界中，不等關系是普遍的、絕對的，而相等關系是局部的、相對的，相等關系是不等關系的某一特定狀態(tài).因此，在研究不等式的時候，首先要注意到它與等式的相似之處，從而注意到運用已有的數(shù)學思想和數(shù)學方法.而不等式的證明是不等式中的基本內容之一，其最基本的方法是比較法——差值比較法和商值比較法；其次是綜合法（思路是“由因導果”，一是要注意字母的對稱性；二是常經過適當?shù)钠骄植鸬龋瑒?chuàng)造條件應用不等式，如■≥（■）2，a2+b2+c2≥ab+bc+ca）；再次是分析法（思路是“執(zhí)果索因”，尋找結論成立的充分條件）.當然還有函數(shù)思想，方程思想、數(shù)形結合思想、轉化思想、分類討論思想、整體思想、配對思想、賦值思想、拉格朗日中值定理證明、向量思想.本文就函數(shù)思想、數(shù)形結合思想、分類討論思想、賦值思想、數(shù)學歸納思想談一下自己的看法.

一、函數(shù)思想

函數(shù)思想就是利用聯(lián)系和變化的觀點，建立各變量之間的函數(shù)關系式，通過函數(shù)形式，利用函數(shù)的有關性質（比如函數(shù)的增減性），使問題得以解決.對于有些不等式，也可先構造一個輔助函數(shù)，然后利用該函數(shù)的增減性來證明.

例1.設a∈R+，求證a+■+■≥■.

證明：據(jù)不等式左邊的特征以及a+■≥2（a∈R+）構造函數(shù)f（x）=x+■（x≥2）易證f（x）在區(qū)間［2，f（x）］上單調遞增.故當x>2時，

f（x）的最小值為：

2+■=■

∵ a+■≥2

∴ a+■+■≥■.

例2.當x>0時，證明ex-1

證明：令f（x）=ex-xex-1（x>0），求導數(shù)得f′（x）=-xex<0（x>0），所以f（x）=ex-xex-1（x>0）是單調遞減的，又f（0）=0，則：

f（x）=ex-xex-1<0（x>0），

即上式成立．

二、數(shù)形結合思想

數(shù)形結合思想就是將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形結合起來，使抽象思維和形象思維結合起來.通過對圖形的處理，發(fā)揮直觀對抽象的支柱作用，實現(xiàn)化難為易、化抽象為直觀的目的.

例3.若a，b，c，d均為正實數(shù)，求證（a2+b2）（c2+d2）≥（ab+cd）2.

證明：如下圖，作直角梯形ABCD，而且點E在BC上，

■

連結EA和ED，則有：

AE=■，DE=■.

∵ S梯形ABCD=S△ABE+S△DCE+S△AED，

又∵ S梯形ABCD=■，S△ABE=■，S△DCE=■，

S△AED=■■■sin∠AED

∴ ■=■+■+■■■sin∠AED

由于sin∠AED≤1，所以化簡上式可得：

ad+bd≤■■

即 （a2+b2）（c2+d2）≥（ab+cd）2

三、分類討論思想

把研究的對象做合理的分類，是揭示數(shù)學學科問題中的內涵和外延的重要方法.分類討論思想就是據(jù)數(shù)學對象本質屬性的異同，將數(shù)學對象區(qū)分為不同種類加以討論的思想.

例4.若a，b，c∈R+，且abc=1，則有a2+b2+c2+3≥2（■+■+■）.

分析：因為abc=1，所以a，b，c中必有兩個數(shù)大于或等于1，或有兩個數(shù)小于或等于1，由于a，b，c的對稱性，我們只需分情況討論.

證明：據(jù)題意分兩種情況，（1）a≥1，b≥1，c≥1；（2）a≤1，b≥1，c≥1.

于是原不等式等價于：

■+b2+c2+3≥2（bc+■+■）.

∵■+b2+c2+3-2（bc+■+■）=（■-1）2+（b-c）2+2（1-■）（1-■）

∴無論是（1）、（2）哪一種情況，上式總是大于或等于零，故原不等式成立.

四、賦值思想

此思想關鍵是對變量進行巧妙、合理地賦予一系列特殊的值，如區(qū)間的端點、中點、±1、0及頂點等.然后把項的系數(shù)（字母）用這些函數(shù)值（如f（±1）、f（0）等）線性表示，創(chuàng)造運用絕對值不等式