淺談數學習題設計與思維能力培養

習題教學是高中數學教學中不可或缺的組成部分。通過習題教學，將有助于加深學生對數學知識結構的鞏固與深化，提高分析問題、解決問題的能力，增強思維的創造性、靈活性和變通性。

解題教學是數學教學的重要組成部分，是完成數學教學目的的重要手段。這就要求：在高中教學過程中，習題設計成為高中數學教師的經常性工作之一。高中數學習題設計技巧的高低不僅直接影響著學生的學習熱情和學習積極性，還關系到學生創造性思維能力的訓練和培養。因此，在教學過程中，設計一些能訓練學生的創造性思維品質、促使學生多思多疑的習題，是高中數學教學中進行創造性教學的一個有效途徑。

下面就結合本人在平時的教學過程中，如何通過習題設計有效地培養學生創造性思維的一些具體做法。

一、設計“多變型”的習題，培養學生創造性思維的變通性

設計“多變型”的習題是指教師在習題教學中不要只局限于就題論題，要在原題的基礎上不斷變換問題情境，使之變為更具有價值、有新意的新問題，使更多知識得到應用，從而獲得“一題多練”“一題多得”的效果，使學生創造性思維的變通性得到培養和發展。

例1．等差數列{an}中，前n項的和記為Sn，若Sm=Sn（m≠n），求Sm+n的值。

針對例題1，不難發現，如果我們發現Sm，Sn，Sm+n之間的等量關系，就可以得出以下幾種形式：

［變式1］設Sk為等差數列的前k項之和，則（n-m）Sm+n=（m+n）（Sn-Sm）。

該問題依賴于三個特殊的項：第m項，第n項，第m+n項，那么對任意的m，n，k項，問題有什么結論呢？我們可以設計變式2。

［變式2］等差數列的任意三項，分別為am，an，ak，則（n-k）am+（k-m）an+（m-n）ak=0。

證明：由等差數列有（an-ak）/（n-k）=（an-am）/（n-m）=d（公差）

即（n-k）（an-am）=（n-m）（an-ak）

得（n-k）am+（k-m）an+（m-n）ak=0

這個結果還可以表示為定比分點的形式：ak=｛（n-k）am+（m-n）ak｝/｛（n-k）+（m-n）｝，或者說，這是直線上三點（m，am），（n，an），（k，ak）共線的代數表述。

［變式3］等差數列的前m，n，k項的和依次為Sm，Sn，Sk，則（n-k）Sm/m+（k-m）Sn/n+（m-n）Sk/k=0

分析：在實際的解題過程中，學生總是根據問題的具體情境來決定解題方法，這種方法是受情境制約的，如果不對它進行概括和提煉，那么它的適用范圍就非常有限。解題過程中，進行“舉一反三”，對具體問題、具體方法進行二次加工，久而久之，就能逐漸開闊視野，從而提高解題能力。

二、設計“隱含性條件”的習題，培養學生創造性思維的深刻性

設計“隱含性條件”的習題是教師在編擬習題時，有意識地使題設條件隱而不露，學生只有通過認真審題、深入挖掘和仔細推敲，才能發現隱藏條件，作出正確的解答。而學生在這一分析、破譯隱含信息的過程中，由于經過了深入思考，因此創造性思維的深刻性得到了培養和訓練。

例2．求函數y=■的值域。

分析：本題常用判別式法，將原函數變形得：（y-1）x2+（y-4）x-3（2y+1）=0 ①

當y=1時，①式化為-3x=9，有解x=3；

當y≠1時，∵①式中x∈R ∴Δ=（y-1）2+4×3（y-1）（2y+1）≥0，

即：25y2-20y+4≥0，解這個不等式得y∈R。故有些同學就認為原函數值域y∈R。導致結果錯誤。錯誤的原因是忽視了隱含條件“x2+x-6≠0”，即要使原函數有意義，必須有：x≠2且x≠-3。在此前提下，原函數可化為：y=■=■（y-1）x=2y+1

∴y≠1且x=■≠-3，解得y≠1且y≠■

∴原函數值域為：y∈（-∞，■）∪（■，1）∪（1，+∞）

例3．設α、β是方程x2-2kx+k+6=0的兩個實根，則（α-1）2+（β-1）2的最小值是多少？

分析：本例題根據一元二次方程根與系數的關系易得：

α+β=2k，αβ=k+6

（α-1）2+（β+1）2=α2-2α+1+β2-2β+1

=（α+β）2-2αβ-2（α+β）+2

=4（k-■）2-■。

故有些同學就把答案寫成了-■，這正是思維缺乏反思性的體現。如果能以反思性的態度好好審視這個題目，就會發現：

原方程有兩個實根α、β，∴ Δ=4k2-4（k+6）≥0?圯k≤-2或k≥3

當k≥3時，（α-1）2+（β-1）2的最小值是8；當k≤-2時，（α-1）2+（β-1）2的最小值是18。所以該題的正確答案就只能是8。

此類習題就要求學生要抓住事物的本質，不能停留在問題的表層，學生通過挖掘題中的隱含條件，不僅有利于良好審題習慣的養成，而且有利于創造性思維深刻性的培養。

三、設計“多余性條件”的習題，培養創造性思維的批判性

“多余性條件”的習題就是指習題中的條件過剩，有用和無用的條件混在一起，形成干擾和迷惑，學生在解題時容易出現錯誤。此類習題的練習，可以防止學生濫用習題所給的條件、信息，亂套公式、公理，讓學生逐步學會通過觀察現象，抓住本質的方法，從而達到培養創造性思維的批判性品質。

例4．如果你有兩張報紙，將其中的一張厚度為0.05 毫米的報紙對拆，再對拆……對拆50次后，報紙的厚度是多少？你相信這時報紙的厚度可以在地球和月球之間建一座橋嗎？（已知地球與月球的距離約為4×108米）

分析：該題中含有兩個信息：“如果你有兩張報紙”是“多余條件”。“將其中的一張厚度為0.05毫米的報紙對拆，再對拆……對拆50次后，報紙的厚度是多少？”才是關鍵信息，我們抓住了這個主干，就基本掌握了大局。對折50次后，報紙的厚度應理解為等比數列的第n項，易誤理解為是等比數列的前n項和。

對折一次厚度增加為原來的一倍，設每次對拆厚度構成數列an，則數列an是以an=0，a1=0.05×10-3米為首項，公比為2的等比數列。從而對折50次后紙的厚度是此等比數列的第51項，利用等比數列的通項公式易得a51=0.05×10-3×250=5.63×1010，而地球和月球間的距離為4×108<5.63×1010，故可建一座橋。

由例題4的解答可知，教師應在教學中，注意引導學生對多余條件的辨別與分析，以培養學生思維的批判性。

四、設計“轉化型”習題，培養學生創造性思維的靈活性

“轉化型”習題的特點是當運用題中所給情境解題而思路受阻時，轉向與所給情境對立、相關、制約的一面，就可以迅速找到正確的解題途徑。通過此類習題的設計，可以使學生的思維處于一種“追求另一角度思考問題”的動態之中，培養學生思維的靈活性。

例5．已知sinx+siny=■，求siny-cos2x的最大值。

分析：此題學生都能通過條件sinx+siny=■將問題轉化為關于sinx的函數，進而利用換元的轉化思想令t=sinx，將問題變為關于t的二次函數最值求解。但極易忽略換元前后變量的等價性而造成錯解。

由已知條件有siny=■-sinx且siny=■-sinx∈［-1，1］（結合sinx∈［-1，1］）得：-■≤sinx≤1，而siny-cos2x=■-sinx-cos2x=sin2x-sinx-■，令t=sinx（-■≤t≤1），則原式=t2-t-■（-■≤t≤1）。根據二次函數配方得：當t=-■即sinx=-■時，原式取得最大值■。

由例題5可知，有些習題按常規方法去思考，往往會迷失在“山重水復疑無路”的困惑之中，但我們若能夠調整思維方向，把問題進行巧妙的轉化后，就會有“柳暗花明又一村”之感。解數學題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法。換元的實質是轉化，關鍵是構造元和設元，理論依據是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標準型問題標準化、復雜問題簡單化，變得容易處理。換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過引進新的變量，可以把分散的條件聯系起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結論聯系起來，或者變為熟悉的形式，把復雜的計算和推證簡化。因此，轉化技巧反映了創造性思維的靈活性。在高中數學教學中，要重視設計轉化型習題，以訓練學生創造性思維的靈活性。

總之，數學習題設計是教師的一種理論思維和藝術創造，旨在通過習題教學，提高學生對高中數學知識的加深與鞏固，幫助學生提高分析問題的能力、解決問題的能力，同時增強學生思維的創新能力，最終實現以有效的數學習題設計為突破口，不斷推進素質教育和新課程向縱深方向發展。

（作者單位 江蘇省震澤中學城區校）