農村小學數學教師的“建模七步曲”

農村小學數學教師的“建模七步曲”

文/許秀華

摘 要：數學課程的基本出發點是促進學生全面、持續、和諧的發展，強調從學生已有的生活經驗出發，親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程，進而獲得對數學的理解。教師要以“建模”作為培養學生數學能力的出發點和最終歸宿，去審視內在規律，發現建模結合點，結合學生實際培養數學建模思想與習慣，進行“建模”預設與整體規劃，實現教學相長。

關鍵詞：農村；小學；數學；建模

《義務教育數學課程標準》指出：“數學教學應該從學生已有生活經驗出發，讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并理解運用。”從此，“建模”一詞開始進入教師們的視野。可仍有不少身處教學一線的農村小學數學教師囿于各種原因，對“建模”知之不多，用之更少。筆者對“建模”的關注也是從去年的“煙花三月”才開始的，略有嘗試，小有思考，想借此機會與各位同仁一同交流，以求共同提高。

筆者認為，作為農村小學數學教師，我們要走好“建模”指導的“七步曲”。

一、樹立正確的現代數學教育觀

數學是人們對客觀世界定性把握和定量刻畫、逐漸抽象概括、形成方法和理論，并進行廣泛應用的過程。20世紀中葉以來，數學自身發生了巨大的變化，特別是與計算機的結合，使得數學在研究領域、研究方式和應用范圍等方面得到了空前的拓展。數學可以幫助人們更好地探求客觀世界的規律，并對現代社會中大量紛繁復雜的信息作出恰當的選擇與判斷，同時為人們交流信息提供了一種有效、簡捷的手段。數學作為一種普遍適用的技術，有助于人們收集、整理、描述信息，建立數學模型，進而解決問題，直接為社會創造價值。

數學課程的基本出發點是促進學生全面、持續、和諧地發展。它不僅要考慮數學自身的特點，更應遵循學生學習數學的心理規律，強調從學生已有的生活經驗出發，讓學生親身經歷，將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程，進而使學生對數學理解的同時，在思維能力、情感態度與價值觀等多方面得到進步和發展。

然而直至現在，我們有不少數學教師在進行教學設計時，目光僅局限在“知識與技能”維度上，為教數學知識而設計教學，“鋪墊—新課—練習”，亦步亦趨、周而復始，看似步步為營，實則因循守舊。學生的考試成績表面看“絢麗驕人”，細考察卻發現：由于缺少生活的原型積累作為支撐資源，缺少探究發現數學規律、尋求數學方法、體會數學的思想等體驗，成了“新時代”的“舊學生”；課堂與生活的聯系是浮淺的，缺少對共性分析、提煉及優化的過程，不能形成具有穩定性的一般算法模型；探究、合作拘泥于形式，很少將之與建模聯系起來，練習也很必然地衍變成了機械重復。

二、洞悉教材，確定課堂教學“建模”預設與規劃

當我們站在時代的前沿，重新審視教材后，我們要以“建模”作為培養學生數學能力、思想的出發點和最終歸宿。了解“建模”、學習“建模”、嘗試“建模”、運用“建模”，實現教學相長。

1.明確“建模”的定義內涵

當需要從定量的角度分析和研究一個實際問題時，人們就要在深入調查研究、了解對象信息、作出簡化假設、分析內在規律等工作的基礎上，用數學的符號和語言，把它表述為數學式子，也就是數學模型，然后用通過計算得到的模型結果來解釋實際問題，并接受實際的檢驗。這個建立數學模型的全過程就稱為數學建模。

2.認清“建模”的實質

從上面的表述中不難發現：“數學模型”是現實世界中的原型，為了某一個特定目的，作出一些必要的簡化和假設，運用適當的數學工具得到一個數學結構。“建模”不但包含數學模型的建立，而且是對數學模型的求解和驗證，并用該模型所提供的解答來解釋實際問題。從數學角度講，數學建模是舍去無關緊要的東西，保留其數學關系，形成數學結構。

3.了解“建模”的流程

數學模型構建的一般流程為：模型準備—模型假設—模型建立—模型求解—模型分析—模型檢驗—模型應用。

4.重新解讀教材文本

《義務教育數學課程標準》倡導以“問題情境→建立模型→解釋、應用與拓展”作為小學數學課程的一種基本敘述模式，并已經在教材中體現了按這一模式編寫內容。這需要教師去審視內在規律、發現建模結合點、結合學生實際培養數學建模思想與習慣，從而進行“建模”預設與整體規劃。

三、創設情境，找到最佳結合點，組織有效探索

1.尋找情趣結合點

教師必須遴選、提供學生感興趣、真實可信的、充足的感性材料作為實際原型，了解、明確原型的特征，只有做到這一點，才能使學生對實際問題進行簡化。由于小學生的生活經歷有限，以學習間接知識為主，有時我們只能用文字或語言來表達實際問題的背景，這就要求教師在用文字表達或語言表達實際問題的背景時，要克服對實際問題的情境描述簡單化、成人化和數學材料來源的單一化，要考慮學生是否熟悉、是否感興趣。

2.發現學生能力的優勢點

雖然學生所掌握的數學知識是有限的，但他們的想象力是無限的。兒童有無限的創造力，他們敢想、敢說、敢做，這對簡化實際問題，構建數學模型是十分有利的。因此，我們要尊重、保護、引導、利用好這一優勢，抓住他們閃光的地方加以表揚、鼓勵，并通過適度的引導和點撥使學生對實際問題的簡化更加恰當，不可求全責備、批評指責。

3.豐富模型的生成點

（1）經歷體驗

行為體驗和內心體驗能給予學生最為直觀、真切的自主建構知識和情感的時空。在小學數學教材里有許多需要學生體驗的內容。

比如，結合學生生活中稱體重、量身高的行為經歷認識“厘米”“千克”；結合家庭蓋新房子所購買的單袋水泥重量（50千克）和所用水泥總重量（一般平房用8噸左右）事例，來建立進位模型和“噸”的初步概念；以蓋房子時磚堆的碼放結構來建立立體模型。

（2）驗證猜測

猜測是人們以已有的知識為基礎，通過對問題的分析、歸納，或將其與有類似關系的特例進行比較、分析，通過判斷、推理對問題結果作出估測。教學中的猜測是一種再創造過程，先對數學的結論進行猜測，再經自主驗證，證明所猜測是否正確，從而得出數學結論，新的數學模型隨即建立起來。

比如，在教學“三角形內角和是180度”時，我出示了多個大小、形狀不同的三角形讓學生猜測它們的內角和各是多少度。學生被它們之間的差異迷惑，所以給出了不同的答案。我引導學生自己動手操作，用多種方式來驗證自己的猜測是否正確。有的學生將三角形的三個角全部撕下來，把三個角拼在一起組成一個平角，由于一個平角是180度，“三角形的內角是180度”的猜想結果得到驗證；有的學生用量角器分別量出每個角的度數，把三個角的度數相加，并通過反復測量、計算，最終得出了“三角形的內角和是180度”這一共同結論，初步建立起了模型。

（3）觀察發現

教師要善于引領學生從已知信息中觀察思考、發現交流、歸納概括規律，從而形成數學模型。

比如，在教學《加法的交換律》時，我出示了25+26和26+25兩個算式，要求分別求出和。這時我讓學生觀察25+26=51與26+25=51兩個算式的不同和相同之處，并說說自己的發現。接著，引導學生自己歸納出25+26=26+25，得出“兩個加數變換位置和不變”這一規律。到此，數學模型已經初步建立。我讓學生自己舉出類似的算式，進一步歸納出用字母替代的“a+b=b+a”這一最終模型。

（4）嘗試內化

在小學數學教學中，可根據教材特點和學生已有的知識經驗，鼓勵其嘗試、探究解決新的數學問題，再進行交流，達成共識，歸納出新知識的數學模型。

比如，教學“比的基本性質”時，鼓勵根據比、分數、除法的內在聯系，引導學生自己寫一組商不變的除法算式，然后把除法算式改寫成分數形式，再改寫成比的形式，較為順暢地形成了“比”的數學模型。

四、提供方法，指導自主探索

《義務教育數學課程標準》強調：數學學習應該是一個思維活動，而不是一個程序操練的過程。教師要重視學生的自主學習、自主發現，同時也要提供必要的方法指導。如，操作活動表格的設計、分類的引導、合作中的分工、實物的符號替代等。

教師要有必要的數學方法儲備，并依據具體內容、學生實際、當時情景給予恰當的方法指導，切不可把“自主”等同于“放任自流”。

五、啟發對比、探究，尋找內在規律

顧汝佐先生說：“學生學習數學是掌握前人創造的經驗，而這種經驗需要教師設計出一定的客觀形式，通過相應的信號、信息載體，讓學生自己去觀察、操作、發現、檢驗、實施，在頭腦中構建經驗結構。”這實際上就是告訴我們，數學應根據需要為學生模擬控究情境和過程，讓學生自己去發現，建構新知，提升數學素養。

比如：在教學“平行四邊形的面積計算”時，在學生猜測平行四邊形的面積與什么有關后，組織學生驗證自己的猜測是否合理、正確，發給學生一張方格紙，紙上有4個平行四邊形和4個與之等底等高的長方形。之后，放手讓學生自己去剪切、拼接、測量、交流、計算，在不斷嘗試驗證猜測的過程中，加深學生對知識本質的理解，培養學生的探究能力。

六、變換具體情境，拓展模型的外延

每個數學模型都應有其本身的廣泛應用價值，如果一個數學模型只能解決當前的一個實際問題，那就失去了廣泛應用價值，數學建模也就毫無意義可言了。

人的認識過程是“感性—理性—感性”的循環往復、螺旋上升的過程。從具體的問題經歷抽象提煉形成的數學模型不是學生數學學習的終結，更重要的是組織學生將數學模型還原為具體的數學直觀或可感的數學現實，使已經構建的數學模型不斷地得以驗證、擴充和提升。

七、開發課程資源，形成數學思想

教師要鼓勵學生在實際生活中應用數學，并借助研究性學習為方式平臺，積極發掘當今生活中的數學資源。通過應用真正讓數學走入生活。用數學知識去解決實際問題的同時拓展數學問題，培養數學意識，提高數學認知水平，促進探索意識、發現問題意識、創新意識和實踐意識的形成。

（作者單位 山東省濟南商河縣玉皇廟鎮楊莊鋪小學）