函數思想在數學解題中的應用

數學思想方法是對數學規律的一種較為理性的認識，自身帶有一般意義和相對穩定的特征，就是對數學的知識內容和被所使用的方法的本質性的認識。它是從某些具體數學認識過程中提煉和概括，而在后繼的認識活動中被反復證實其正確性的一種認識。常用的數學思想有：化歸與轉化思想、分類討論思想、函數與方程的思想、數形結合的思想等等。

本文主要就函數問題，探究其數學思想在函數問題方面的解決。函數思想，指運用函數的概念和性質，通過類比聯想轉化合理地構造函數，然后去分析、研究、轉化問題并解決問題。

一、不等式問題

用函數思想分析不等式問題，化為函數問題。通過構造函數解決不等式問題，顯得簡潔。

例1：設實數a>1>b>0，問a，b滿足什么關系時，不等式lg（ax-bx）>0的解集是（1，+∞）。

簡析:欲設不等式的解集為（1，+∞），只需構造函數f（x）=lg(ax-bx) ，使其在定義域上是增函數，且f（1）=0。

解:設f(x)=lg(ax-bx)，因ax-bx>0 ，故（）x>1，且>1，故x∈（0，+∞）。

依題意，只需f（x）是(0，+∞)上的增函數且f（1）=0。

∵ a>1>b>0，∴ax 是(0，+∞)上的增函數，bx 是(0，+∞)上的減函數。

∴ax-bx是(0，+∞)上的增函數，故f（x）=lg（ax-bx）是(0，+∞ )上的增函數。

又 f（x）=lg（a-b） ，令lg（a-b）=0則a-b=1。

因此，a，b滿足的關系式為a=b+1。

二、三角函數問題

在研究三角函數相關問題時，應該充分注意到三角函數本身就是一種特殊的函數，利用函數的基本性質去解決有關問題。

例２：已知α，β，γ為任意三角形的三個內角，求證:x2+y2+z2≥2xycosα+2yzcosβ+2zxcosγ對任意實數總x、y、z成立。

簡析:由原不等式得x2+y2+z2-2xycosα-2yzcosβ+2zxcosγ≥0，根據不等式的結構特點，構造函數f（x）=x2+y2+z2-2xycosα-2yzcosβ+2zxcosγ，證明函數在實數解至多有一解，即△≤0即可。

證明:設f（x）=x2+y2+z2-2xycosα-2yzcosβ+2zxcosγ

=x2-2x（ycosα+zxcoγ）+y2+z2-2yzcosβ

∵△=4（ycosα+zxcoγ）2-4（y2+z2-2yzcosβ）

=4y2（cos2α-1）+8yz（cosαcosγ+cosβ）+4z2sin2γ

=-4y2sin2α+8yzsinαsinγ-4z2sin2γ

=-4（ysinα-zsinγ）2≤0

∴f（x）≥0恒成立。

故x2+y2+z2≥2xycosα-2yzcosβ+2zxcosγ成立。

三、數列問題

用函數思想解數列問題能夠加深對數列概念的理解，強化知識點間的聯系。通過構造函數，利用函數的性質解決數列問題，是一種有效的方法。

例３：等差數列{an}的首項a1>0，前n項的和為Sn，若Sl=Sk（l≠k），問n為何值時Sn最大？

簡析:分析通項公式的特點，把數列問題轉化為相應的函數問題解決。

解:依題意，設f（n）=Sn=na1+d，n∈N，

∴f（n）=dn2+（a1-）n，此函數是以n為自變量的二次函數。

∵a1>0，Sl=Sk（l≠k），

∴d<0，

故二次函數f（n）=dn2+（a1-）n的圖象開口向下，

∴f（l）=f（k）。

∴當x=時， f（x）最大，但f（n）中，n∈N；

∴當l+k為偶數時，n=時，Sn最大；

∴當l+k為奇數時，n=時，Sn最大。

四、解析幾何問題

解析幾何問題中，直線與曲線、點于曲線、曲線與曲線等的關系，都是函數關系的具體反映，因此用函數的思想處理這類問題是很有效的。

例４：設a>b>c，且a+b+c=0，拋物線y=ax2+2ba+c被x軸截得的弦長為l，證明:

簡析：由于弦長l是與a，b，c有關的變量，若能建立l=f（a，b，c）的表達式，那么結論相當于確定函數l的值域。為確定函數的值域，必須先求出變量l的解析式，再確定解析式中的自變量及其取值范圍。

解:在y=ax2+2ba+c中，

∵a>b>c，且a+b+c=0，

∴a>0，c<0，

又因為△=4b2-4ac>0，故方程ax2+2ba+c=0必有兩個不同實根x1，x2，則

l2=（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2

=--4（-）

=4[(1+)2-]=4（+）2+3，

故l2是的二次函數，由a>b>c及a+b+c=0可得-2<<-，由二次函數的單調性知，當<-時，l2是單調遞減的。

∴4（-+）2+3

即30，故

五、某些求值問題

將問題中的代數式轉化為函數式，利用函數的性質，可獲得快捷解法。

例５：設實數x，y滿足x3+2x+a=0，y3+2y-a=0，試求x+y的值。

簡析:如果直接解這兩個方程，過程冗繁，觀察兩個方程可把他們變為:x3+2x=-a，y3+2y=a，再構造函數f（t）=t3+2t（t∈R），利用此函數的性質易求x+y的值。

解:設f（t）＝t3+2t（t∈R），顯然f（-t）=-f（t），故f（t）為奇函數。

∵f（x）=-a，f（y）=a，

∴f（x）=-f（y），又由f（t）為奇函數，

∴f（x）=f（-y），易證f（t）是增函數，

∴x=-y，故x+y=0。

通過以上所舉的幾個例子可以看出，函數思想是數學思想中重要的思想方法，它在數學諸多知識中都有所體現。因此，我們在對數學的學習過程中，應該多挖掘、培養、訓練并強化這種思想，根據問題的特點應用這種思想轉化為相應的函數問題，利用函數的性質和方法去解決，從而較快捷地解決問題。在教學中要注重培養函數方法的應用意識，善于運用函數思想方法解決思想問題。

【責編 郭曉莉】