合成與分解——讓人歡喜讓人憂

摘要：矢量的合成與分解遵循平行四邊形定則，充分利用合成與分解能順利解決許多問題。標量的運算不符合平行四邊形定則，可是有分方向上的運算，值得我們注意。把動能分解到相互垂直的方向上是可行的——在計算結果上是對的。雖然可以把動能分解到兩垂直方向進行有關計算，但會給學生帶來錯誤的認識。

關鍵詞：矢量；合成與分解；平行四邊形；磁場； 相互垂直；動能；標量

高中物理中許多物理量都進行了定量的研究，這與初中物理相比較更嚴密、更精細。初、高中物理最重要的區別在于學習了矢量的概念，學會矢量的合成與分解，許多問題可以很快地解決?？墒?，許多學生常用錯這種方法，更有些資料進行錯誤的引導，使學生產生了錯誤的認識，現將一些應用及注意事項舉例說明。

1.矢量分解是處理問題的重要的方法，常見的情況有多種。例如：把矢量分解到某方向上研究這一方向上動量、速度、位移、加速度等的變化規律等等，許多時候把矢量分解是為了矢量的合成。常見的情況有把力分解求合力，把運動分解求合位移、合速度、合加速度，把電磁場中E、B分解求合場情況等等。

例１：如圖１，平行紙面向右的勻強磁場的磁感應強度B1=1T，長L=1m的直導線通有I=1A的恒定電流，當導線平行于紙面與B1成60°夾角時，其受到的安培力為零；而將導線垂直于紙面放置時，測出其受到的安培力大小為2N，則該區域同時存在的另一勻強磁場的磁感應強度可能等于多大？

分析：新磁場方向不知，很難判斷安培力方向，但由成60°夾角時安培力為零，可知新磁場的一個分量一定，與B1的垂直導線分量相等，方向相反，另一分量與電流方向在一條直線上，方向可能與導線方向相同，也可能相反。故將B1分解為垂直導線的X方向和平行導線的Y方向，分量大小分別為Ｂ１Ｘ和Ｂ１Ｙ。

如圖２所示 ，設新的磁場磁感應強度為Ｂ２，將Ｂ２分解為與Ｂ１Ｘ 反向的Ｂ２Ｘ 和與Ｂ１Ｙ 同向（或反向）的Ｂ２Ｙ，由圖可知：Ｂ２Ｘ＝Ｂ１Ｘ， Ｂ２Ｙ＋Ｂ１Ｙ＝ＢＹ（或Ｂ２Ｙ－Ｂ１Ｙ＝ＢＹ）；又因為導線垂直于紙面放置時，其受到的安培力大小為2N，由已知條件Ｉ＝１Ａ、Ｌ＝１ｍ，及Ｆ＝ＩＬＢ，解得ＢＹ＝２Ｔ。

Ｂ１Ｙ＝Ｂ１cos（６０°），故解得Ｂ２Ｙ 的大小可能為1.5T或2.5T。

故新的磁場有兩個可能值為1.73T或2.65T。

２.利用合成分解可能很快地解決問題，但這一方法僅適用于矢量，對標量不能使用，可是有些資料對學生進行了錯誤的引導，必須引起我們的重視。

例２：某物體質量為Ｍ，速度為Ｖ，設動能為Ｅ，把速度分解為互相垂直的Ｘ、Ｙ方向上，已知Ｖ與Ｘ方向夾角為α，兩方向上的動能分別為ＥＸ和ＥＹ。下面各項正確的有（ ）。

Ａ.ＥＸ＝Ｅｃｏｓα Ｂ.ＥＹ＝Ｅｓｉｎα

Ｃ.ＥＸ＝Ｅｃｏｃ２α Ｄ.ＥＸ＋ＥＹ＝Ｅ 此題的答案為Ｃ、Ｄ。

分析可得：從數值上講答案不算錯，但動能能否分解，是不是兩方向上動能和就等于總動能。很顯然，當兩方向垂直時，數值上是對的，動能是標量，不存在某方向的分量形式，不能分解。這樣的問題容易給學生造成誤解，以為動能可以分解，下面我們再用一道練習加以說明。

例3：玩具火箭內充滿壓縮氣體，在發射的時候利用壓縮氣體從火箭的尾部射出，而使火箭向前飛行。假如在豎直向上發射的時候，箭頭能上升的高度h=２０m，現改為另一種發射方式：讓火箭沿半徑R=５m的半圓形軌道向下滑行，如圖3所示，在到達軌道的最低點時（此時火箭具有最大的滑行速度），再開動發動機發射火箭。試問，按這種方式發射的火箭頭能上升多高（不計一切摩擦和空氣阻力）？（ｇ＝１０ｍ／ｓ２）

解析：設豎直向上發射時箭頭獲得速度為Ｖ１，沿軌道到達軌道最低點時獲得水平速度為Ｖ２。則根據機械能守恒可得mgh=（１／２）ｍＶ1２ ， mgR=（１／２）ｍＶ2２，故Ｖ１＝２０ｍ／ｓ，Ｖ２＝１０ｍ／ｓ。

錯解：根據分解法則由mgR產生的動能又轉化為重力勢能上升R ，壓縮氣體產生的動能還是讓火箭上升h=20ｍ。

正解：最低點發射時火箭頭獲得對地速度Ｖ＝Ｖ１＋Ｖ２＝３０ｍ／ｓ，火箭頭動能為Ｅ＝（１／２）ｍＶ２。故火箭頭相對軌道最低點上升高度Ｈ＝Ｅ／（ｍｇ）＝４５ｍ。

火箭頭相對地面上升高度ｈ＝Ｈ－Ｒ＝４０ｍ。

許多學生對這一答案并不懷疑，但認為火箭沿光滑半圓軌道滑動機械能守恒，火箭滑到軌道最低點，火箭頭獲得速度，動能增加，從最低點滑到另一端增加的動能又轉化為勢能，不影響火箭頭的發射，認為后來上升高度仍為２０ｍ。為什么會有這樣的疑問呢？其根源在于對動能的理解不到位，動能是標量不能隨便分解。在最低點火箭頭獲得速度相對地面大小為Ｖ，動能為Ｅ，Ｅ不等于由于下滑而獲得的動能與由于發射而獲得動能的和。

動能到底能否分解呢？筆者查閱了許多資料未見某方向動能之說，只是在大學的《力學基礎》中見到一例：某離子以速度Ｖ斜射入平行板間的勻強電場，分析時講到垂直電場方向上的（１／２）ＭＶＸ２大小不變，平行電場的方向上動能（１／２）ＭＶＹ２轉化為電勢能。可見，把動能分解到相互垂直的方向上是可行的——在計算結果上是對的。但是，如果把動能分解到不垂直的方向上則會出現錯誤，因為把速度分解到兩方向上，只有兩方向互相垂直時在數值上才滿足動能等于分量的和，動能是標量沒有矢量合。雖然可以把動能分解到兩垂直方向進行有關計算，但會給學生帶來錯誤的認識，因此，在平時一定要注意強調標量不能分解，強調分解與合成是矢量的一種計算方法，加強概念的教學。同時要規范講解問題的方法與思路，杜絕錯誤方法的應用，更不能對學生進行錯誤地引導。

合成與分解是高中物理的重要知識，在學習時一定要掌握其使用條件，只有充分合理地利用知識點才能收到良好的效果。

【責編 郭曉莉】