一類雙曲線的幾何性質探究

雙曲線是指平面內與兩個定點F1、F2 的距離的差的絕對值等于常數(小于|F1F2|)的點的軌跡，也可以定義為平面內到定點與定直線的距離的比是一個大于1的常數的點的軌跡。雙曲線是圓錐曲線的一種，即圓錐面與平面的交截線。雙曲線在一定的仿射的變換下，也可以看成反比例函數。

一、問題提出

在高三數學復習課中，有如下一道雙曲線的題目，我和同學們做了如下探究。

【問題】 給定雙曲線x2-＝１， 過點P（1，l）能否作直線l，使l與此雙曲線交于點Q1、Q2，且為線段Q1、Q2的中點？

學生甲給出了這樣的解答：假設存在符合題意的直線l，設Q1（x1，y1）、 Q2（x2，y2），則有 x12-=1①；

x22-=1②；

① - ②得，（x1＋x２）（x1－x２）＝（y1＋y2）（y1-y2），

顯然x1－x２≠0，y1＋y2≠０，

所以=。

由P（1，1）為線段Q1Q2的中點，有x1+x２=2，y1+y２=2，

則k=2所求直線l的方程為： y-1=2（x-1），即2x-y-1=0。

學生乙卻表示了不同意見：“通過畫圖，我發現所求直線與雙曲線沒有交點，故不合題意，不能作出符合題意的直線l。”

我引導學生思考：直線方程已經求出，怎么不合題意？

學生丙說：“一定是學生乙畫圖不準確。”此時，有一些學生也這么認為，學生們紛紛議論，相互爭論。

學生丁提出了自己的想法：用△判斷，我已算出△=-8<0，這說明學生乙的發現是對的。

我及時總結：學生丁用了代數的方法解決此問題，對于直線l與雙曲線之間沒有公共點做了驗證，不合題意。通過這道題，我們就明白在解決直線與圓錐曲線位置的關系的問題時，要注意檢驗其結果。

從學生甲的解題過程，可知：“①-②” ?圯“k=2”，前者僅是后者的充分不必要條件，不難發現：-x12=1，③；-x22 =1④；③-④也能推出k=2。所以我們猜想：所求直線l可能適合于雙曲線的共軛雙曲線-x2=1的情形。很快同學們給予了驗證，猜想是成立的。

二、問題解決

我接著提問：這個問題可以推廣到一般情形嗎？即給定雙曲線-=1和點P（m，n）（mn≠0），過點P能否存在直線l，使l與此雙曲線交于Q1、Q2兩點，且點P是線段Q1Q2的中點。

經過一番復雜的運算之后有了如下求解過程：

假設符合題意的直線l存在，易求得k=，由

y=k（x-m）+n-=1化簡整理得，

（b2-a2k2）x2+2ka2（mk-n）x-a2[（mk-n）2+b2]=0，

當b2-a2k2=0，即直線與漸近線平行或重合時，顯然不合題意，所以b2-a2≠0。

△=4k2a4（mk-n）2+4a2（b2-a2k2）#8226;[（mk-n）2+b2]

=4a2b2（mk-n）2+4a2b2（b2-a2k2）

=4a2b2（m2k2-a2k2-2mnk+n2+b2），

把k=代入上式得，

△=（b4m4-2a2b2m2n2+a4n4-a4b4m2+a4b2n2）

=[（b2m2-a2n2）2-a2b2（b2m2-a2n2）]

=（b2m2-a2n2）（b2m2-a2n2-a2b2）

只要將上式化成---1的形式，就可以運用雙曲線的有關結論判斷出△的正負。如圖1所示，已知雙曲線-=1以及平面內點Ｐ（m，n）。

１）點P在區域Ⅰ內->1;

2）點P在雙曲線上-=1；

3）點P在區域Ⅱ內0<-<1；

4）點P在漸近線上-=0；

5）點P在區域Ⅲ內-<1。

很快大家總結出了如下的結論：

已知雙曲線-=1和點Ｐ（m，n），有關此雙曲線以點P為中點的弦的存在性問題，如圖1所示，即當->1或-<0時存在；點P在原點時也存在；否則就不存在。

我們通過對問題繼續研究發現：當點P在區域Ⅱ內或雙曲線上時，所求直線l盡管不合題意，但是符合已知雙曲線的共軛雙曲線-=1的情形。

由△=--+1并作了這樣的解釋：

對于雙曲線-=1而言，當點P在區域Ⅱ內或雙曲線上時，應有-<0，此時△>0，故所求直線l符合。

一場生動的探究課到了尾聲，同學們臉上露出了獲取知識后的滿意笑容。這一節課的成果在于，他們不滿足于現成的思路和結論，善于從多側面、多方位思考問題，挖掘問題的實質，勇于發表自己的獨特見解，最終在掌握知識的同時，鍛煉了自己的探究和創新能力。

【責編 郭曉莉】