五年考一題

紹興市從2007年到2011年這五年的中考數(shù)學(xué)試題的命制呈現(xiàn)一個規(guī)律，即每年都有一道別開生面、新穎別致的新定義型試題，這成為紹興市中考數(shù)學(xué)試題中一道亮麗的風(fēng)景線。“新定義型”試題是近幾年中考中涌現(xiàn)出來的一種熱點(diǎn)題型，這類試題是在學(xué)生已學(xué)數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)上，給出一個“新概念”，要求學(xué)生學(xué)習(xí)并運(yùn)用這個“新概念”來解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題。此類試題，突出考查學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀理解能力、數(shù)學(xué)抽象概括能力和“新概念”的實(shí)際應(yīng)用能力。這種新情境下的“新概念”問題的解決與實(shí)踐過程，能有效地甄別學(xué)生的思維品質(zhì)和學(xué)習(xí)潛力，突出體現(xiàn)了“考能力”這一特色，這類題型無疑是中考試題中最佳題型之一。

一、新定義函數(shù)

2007年試題：設(shè)關(guān)于x的一次函數(shù)y=a1x+b1與y=a2x+b2，則稱函數(shù)y=m（a1x+b1）＋n（a2x+b2）（其中m+n=1）為這兩個函數(shù)的生成函數(shù)．

（1）當(dāng)x=1時，求函數(shù)y=x+1與y=2x的生成函數(shù)的值；

（2）若函數(shù)y=a1x+b1與y=a2x+b2的圖像的交點(diǎn)為P，判斷點(diǎn)P是否在這兩個函數(shù)的生成函數(shù)的圖像上，并說明理由．

評析與品味：本題首先閱讀理解生成函數(shù)的定義，然后進(jìn)行模仿。當(dāng)x=1時，y=m（x+1）+n（2x）=m（1+1）+n（2×1）=2m+2n=2(m+n).∵m+n=1，∴y=2.第（2）小題可以先設(shè)點(diǎn)P（a，b）， 由點(diǎn)P是兩圖像的交點(diǎn)，因此應(yīng)該滿足兩個解析式a1×a+b1=b， a２×a+b２=b， ∴當(dāng)x=a時，y=m（a1x+b1）+n（a2x+b2）=m（a1×a+b1）+n（a2×a+b2）=mb+nb=b（m+n）=b，得到點(diǎn)P在這兩個函數(shù)的生成函數(shù)的圖像上。此題在學(xué)生已學(xué)一次函數(shù)知識的基礎(chǔ)上，通過對兩個一次函數(shù)解析式的重新組合后給出了“生成函數(shù)”這個新概念，學(xué)生通過讀題理解“新概念”，并運(yùn)用這一“新概念”來解決相應(yīng)的問題。

二、新定義數(shù)

2008年試題：定義［p，q］為一次函數(shù)y=px+q的特征數(shù)．

（1）若特征數(shù)是［２，k-2］的一次函數(shù)為正比例函數(shù)，求k的值；

（2）設(shè)點(diǎn)A，B分別為拋物線y=（x+m）（x-2）與x，y軸的交點(diǎn)，其中m>0，且△OAB的面積為4，O為原點(diǎn)，求圖像過A，B兩點(diǎn)的一次函數(shù)的特征數(shù)．

評析與品味：第（1）小題在學(xué)生理解特征數(shù)的基礎(chǔ)上，把特征數(shù)[2，k-2]代入y=px+q得y=2x+k-2，然后由正比例函數(shù)的概念得出k-2=0，即k=2；第（2）小題只要求出滿足條件過A，B兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式（y=-2x-4或y=2x-4），然后根據(jù)定義中的特征數(shù)，就可以求出其特征數(shù)為[-2，-4]或[2，-4]。此題通過特定的形式把一次函數(shù)解析式中的兩個特定系數(shù)定義為這個一次函數(shù)解析式的“特征數(shù)”，要求學(xué)生在新情境下，理解新定義“特征數(shù)”的正確意義和正比例函數(shù)與一次函數(shù)之間的關(guān)系，并運(yùn)用新的概念解決新問題，需要學(xué)生具有一定的分析問題和解決問題的能力。

三、新定義變換

2009年試題：定義一種變換：平移拋物線F1得到拋物線F2，使F2經(jīng)過F1的頂點(diǎn)A，設(shè)F2的對稱軸分別交F1，F(xiàn)2于點(diǎn)D，B，點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于直線BD的對稱點(diǎn)．

（1）如圖1，若F1：y=x2，經(jīng)過變換后，得到F2：y=x2+bx，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，0），則①b的值等于 ；

②四邊形ABCD為（ ）。

A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．正方形

（2）如圖2，若F1：y=ax2+c，經(jīng)過變換后，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（２，c-1），求△ABD的面積。

評析與品味：第（1）小題包括填空和選擇兩道小題，填空題考查了學(xué)生的基本運(yùn)算能力，利用變換定義，只要把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入計(jì)算即可；選擇題在填空題的基礎(chǔ)上進(jìn)行了拓展，在計(jì)算正確的基礎(chǔ)上，再給合特殊四邊形的判定來解答即可；第（2）小題重點(diǎn)考查了學(xué)生對二次函數(shù)知識的掌握程度和三角形面積的基本求法，利用定義進(jìn)行變換，求出點(diǎn)D的縱坐標(biāo)，并以含c的代數(shù)式表示或解出a的值，從而求得△ABD的面積。

本題為整張?jiān)嚲淼膲狠S題，綜合程度高，難度大，但此題的編排具有起點(diǎn)低，坡度緩，難點(diǎn)分散，綜合程度高的特點(diǎn)，并融入新課程要求的“人人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”的基本理念。全題各小題之間承接明顯，為學(xué)生的解題隱含地提供了導(dǎo)向作用，展示了數(shù)學(xué)思維的獨(dú)特品質(zhì)，題目體現(xiàn)了對初中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能和以思維為核心的數(shù)學(xué)能力的考查。學(xué)生在解答此題時，始終要圍繞理解定義中的變換，而且這種變換貫穿在兩個小題中，學(xué)生稍有疏忽，將導(dǎo)致解題錯誤或成為失分的難題。

四、新定義圖形

1.坐標(biāo)三角形

2010年試題：在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸圍成的三角形，叫做此一次函數(shù)的坐標(biāo)三角形。例如，圖中一次函數(shù)的圖像與x，y軸分別交于點(diǎn)A，B，則△OAB為此函數(shù)的坐標(biāo)三角形.

（1）求函數(shù)y＝-■x＋3的坐標(biāo)三角形的三條邊長；

（2）若函數(shù)y＝-■x＋b（b為常數(shù)）的坐標(biāo)三角形周長為16，求此三角形面積.

評析與品味：本題第（1）小題是利用“坐標(biāo)三角形”的新定義，即求△ABO三邊長；第（2）小題由坐標(biāo)三角形（即△OAB）的周長來求面積，關(guān)鍵是求出b，b可通過已知周長來求，但b要分正負(fù)兩種情況。

此題以“坐標(biāo)三角形”為考查載體，是一類新定義型的閱讀理解題，它作為對學(xué)生能力的考查，無疑是一種很好的考查題型。新定義型閱讀理解題，通過閱讀相關(guān)材料，學(xué)習(xí)新的知識方法，感悟數(shù)學(xué)思想，進(jìn)而形成科學(xué)的思維方式與思維策略。

2.和諧點(diǎn)

2011年試題：在平面直角坐標(biāo)系中，過一點(diǎn)分別作坐標(biāo)軸的垂線，若與坐標(biāo)軸圍成矩形的周長與面積相等，則這個點(diǎn)叫做和諧點(diǎn)。

例如，圖中過點(diǎn)P分別作x軸，y軸的垂線，與坐標(biāo)軸圍成矩形OAPB的周長與面積相等，則點(diǎn)P是和諧點(diǎn)．

（1）判斷點(diǎn)M（1，2），N（4，4）是否為和諧點(diǎn)，并說明理由；

（2）若和諧點(diǎn)P（a，3）在直線y＝－x＋b（b為常數(shù)）上，求a，b的值．

評析與品味：本題第（1）小題考查學(xué)生對“和諧點(diǎn)”的新定義是否理解，相應(yīng)于數(shù)學(xué)概念教學(xué)中概念辨析；第（2）小題是新定義“和諧點(diǎn)”的應(yīng)用，相應(yīng)于數(shù)學(xué)概念教學(xué)中概念深化。

此題以“和諧點(diǎn)”為考查載體，考查學(xué)生閱讀理解能力，數(shù)學(xué)抽象概括能力和“新概念”的實(shí)際應(yīng)用能力，學(xué)生要在理解“和諧點(diǎn)”的基礎(chǔ)上作出判斷和應(yīng)用。

綜上所述，紹興市連續(xù)五年“新定義”型中考試題，亮點(diǎn)多，啟示多。在今后的教學(xué)實(shí)踐過程中，廣大教師要以課程標(biāo)準(zhǔn)理念為指導(dǎo)，不斷改進(jìn)教學(xué)行為，不斷優(yōu)化教學(xué)過程，以學(xué)生為本，以發(fā)展為重，以全體學(xué)生的共同成長為目標(biāo)，切實(shí)將教育理想落實(shí)在行動中，并落實(shí)到位。在注重結(jié)果的同時注重過程，在重視“雙基”的同時重視能力的培養(yǎng)，在發(fā)揮教師作用的同時充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，在關(guān)注數(shù)學(xué)素養(yǎng)提高的同時關(guān)注情感態(tài)度的發(fā)展，就一定能創(chuàng)造出一個富有生機(jī)的數(shù)學(xué)教育新局面，就一定能在成就學(xué)生的同時創(chuàng)造成出數(shù)學(xué)教育的新輝煌。

【責(zé)編 馮立偉】