構造等比數列求解數列的通項

摘 要：通過構造新的等比數列，求出以不同的幾種形式給出的遞推關系式的數列的通項。

關鍵詞：構造法；數列通項；遞推式；等比數列；待定系數法

數列的通項公式，對研究數列的性質起著至關重要的作用，因此，如何求數列的通項便成了解決數列問題的重中之重。求解數列通項的方法很多，也很雜，對于高中階段的一般的等差數列和等比數列，我們可以根據定義直接寫出其通項，除此之外，還有累加法、累乘法、待定系數法、對數變換法、迭代法、數學歸納法、換元法、因式分解法、倒數法、循環法、開方法，等等，其實這些方法并不是孤立的，有時我們同時要用到其中的好幾種方法。我們經常見到的一類求數列的通項問題是可以通過構造新的等比數列來找到其通項，即構造輔助元素，其實就是一種構造法（也可以說是換元法，其中最關鍵的問題是要確定出相關的系數，所以也用到了待定系數法）。構造法是解決數學問題的一種基本的同時也是非常重要的方法，其實質就是通過觀察、分析問題和結論的結構特征以及內在聯系，綜合運用數學知識，構造出一個與原命題密切相關的“數學模型”，實現從未知向已知的轉化，以問題中的數學關系為“框架”，以問題中的數學元素為“元件”，構造出新的數學對象或數學模型，如函數、方程、代數式、幾何圖形、數列等，從而使問題得到轉化并最終得到解決。構造法本質上屬于轉化并使得問題得到解決的方法，這里我們主要可以通過構造新的等比數列求出原數列的通項的幾種類型的數列問題做了簡單的總結，并給出了具體的求解方法。