巧用思維定勢 構建合理認知

王章蓮

教學片段

一、鋪墊誘導，運用思維定勢

師：有五個好朋友，他們的年齡分別是10、11、13、14、12歲，看到這組數據你能提出什么數學問題？

生：他們的平均年齡是多少？

師：怎么計算他們的平均年齡？

生1：把五個數加起來除以五。

師：他是用總年齡除以總人數來解決的。

生2：不用計算的，13拿出1來給11，14拿出2來給10，這樣五個數都變成了12，他們的平均年齡是12歲。

師：他是用移多補少的方法解決的，不錯。

師：這個算出來的12是誰的年齡，和什么有關系？

生3：不是哪一個人的年齡，是他們的平均年齡。

生4：12比最大的小一些，比最小的大一些。

生5：平均年齡和每個人的年齡都有關系。

生6：它是這幾個人年齡的中等水平。

生7：這五個朋友的年齡都在12歲左右，相差不大。

師：12歲這個平均年齡和每個人的年齡都有關系，它代表的是這幾個人年齡的一般水平。

二、變式設疑，打破思維定勢

師：這里還有五個好朋友，不過，只知道這五個好朋友的平均年齡是18歲，他們可能是怎樣的一些人？

生1：他們中有些人比18歲小一點，也有些人比18歲大一點。

生2：他們的年齡在18歲左右。

生3：他們是一群高中生，也可能是一群大學生。

師：他們可能是一群小學生嗎？

生4：不可能，小學生的年齡哪有這么大。

生5：他們的年齡相差不會太大，最大也不會超過23歲吧，最小也不會小于16歲吧！

師：想知道他們的具體年齡嗎？

師出示：10、11、12、14、43。

生6：怎么可能？真有小學生。

生7：我們都猜錯了，年齡相差太大了。

生8：有一個人的年齡太大了，平均年齡也變大了。

師：你覺得像這種情況用平均數來表示一般水平合適嗎？你認為用什么數更能代表這組數據的一般水平？

生9：中位數。

師：中位數是什么呀？

生10：中位數就是中間的一個數。

師：這么簡單，中間的一個數就是中位數。

生11：不對，這些數還要按從小到大排列后，中間的一個數才叫中位數。

師：這組數據的中位數是多少呢？

生12：中間的一個數是12。

生13：這組數據的中位數是12。

三、深化拓展，發展思維定勢

生1：如果是6個數，中間的數有兩個，哪一個才是中位數呢？

師：這個問題問得好，如果是6個數呢？還有哪些問題不好解決？

生2：如果一組數據的個數是單數，中位數就是中間一個。如果數據的個數是雙數，中間就有兩個數，選哪一個數好呀？

師：能舉一個例子說說嗎？

生2：還是舉年齡的例子吧，6個好朋友，他們的年齡分別是15、16、20、14、17、18歲。

生3：他們的年齡比較接近，用平均數表示就可以了。

師：什么情況下用中位數好呢？

生4：有一個特別大的，就不適合用平均數表示了。

生5：把他們的年齡改成：15、16、20、14、17、48歲。

師：為什么要將18改成48？

生5：這樣用中位數表示就更合適了。

師：為什么？

生6：中位數和最大的數沒有關系。

師：中位數不受大數的影響。

師：這組數據的中位數是多少呢？如何解決？

生7：先把這組數據按順序排列14、15、16、17、20、48。

生8：中間的數有兩個呀？

生9：把中間的兩個數加起來除以2。

師：不錯的方法，求中間兩個數的平均數，你們認為可行嗎？

生（部分）：行。

師：看來，我們班的同學就是牛，一下子解決了中位數的許多問題。你了解中位數了嗎？說一說。

生11：中位數就是幾個數中間的數。

生12：不完整，應該是把一組數按順序排列后中間的數。

生13：如果數據的個數是單數，中位數就是中間的那個數；如果數據的個數是雙數，中位數就是中間兩數的平均數。

生14：中位數不受大數的影響。

師：如果一組數據中有一個特別小的數呢，用什么表示比較合適？

生15：中位數。

師：中位數不受偏大或偏小數據的影響。

師：中位數這么好，以后我們不要平均數了，用中位數就行了。

生16：不行，一組數據中出現偏大或偏小的數據時，用中位數表示這些數的一般水平比較合適，但一組數據比較接近時，用平均數比較合適。

師：看來它們各有優點，我們千萬不要喜新厭舊。

……

教學思考

一、運用思維定勢要把握“適度”

思維定勢可以有效提高解決問題的效率，但同時也容易使人的思維刻板、固化。因而，教學時我們要根據這一特性，適度使用。如本案例中學生在解決平均數的問題時，就是充分利用在學習平均數過程中形成的思維定勢，很快解決對數據“10、11、13、14、12”的分析，在此過程中幾乎沒有遇到任何障礙，這都得益于學生在平均數學習中形成思維定勢。然而，如果用此思維定勢去分析所有的數據，必然不可行。平均數對數據集中趨勢的反映受具體數據特點的影響，因而，適度使用已形成的思維定勢不僅能幫助學生形成熟練解決問題的技巧，更能為他們思維進一步發展留下必要的空間。

二、運用思維定勢要善于“求變”

在日常教學過程中，我們往往更多地利用定勢思維的積極作用，很少或根本不去考慮如何利用定勢思維的消極影響。其實，根據具體的教學內容，有時利用思維定勢的積極作用可以促進教學，有時利用思維定勢的消極作用也可以取得意想不到的效果。如上述案例中，當要求學生根據“五個好朋友的平均年齡是18歲”來分析五個人的具體年齡時，學生固有的思維定勢自然引導他們認為每個人的年齡都與18歲接近，似乎已解決了問題。然而，當教師出示五人的年齡分別為“10、11、12、14、43”時，學生原有思維定勢產生的成果被打破了，思維定勢的負面效益突顯，形成強烈的認知沖突。如何解釋這組新出現的數據集中趨勢呢，自然就需要一種新的表述方式，中位數出現也就順理成章了。同時，負面影響有效加深了學生對平均數與中位數的區分。從以上情況不難看出，運用思維定勢開展教學時不能一成不變，要按需利用，重在實效，貴在靈活。

三、運用思維定勢要突出“發展”

教學中運用思維定勢解決問題，更多的是促進原有的思維路線、方式、程序、模式更加穩定，更加模式化與固化。這樣做可以保證學生形成某一內容穩定的認知結構，但不利于他們的思維進一步拓展。如在上述案例中，學生運用平均數描述數據趨勢的定勢思維碰壁后，思維不是停止了，而是在教師的引導下去尋找更加合適的描述數據的方式。當發現中位數成為合適的描述方式時，學生原有的定勢思維得到更多內涵，即當數據較為集中時適用平均數來描述，當數據有個別較為突出時適用中位數描述。此時，學生在學習平均數過程中形成思維定勢即得到運用，又得到發展。

（作者單位：安徽省黃山市黃山區焦村中心學校 責任編輯：王彬）