在方程教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想

李純聰

一、掌握建模思想

這是列方程的重點(diǎn)，是一個(gè)抽象的過(guò)程。四則算術(shù)思想僅僅強(qiáng)調(diào)算法，而方程則比較全面地展示了建模思想——用等號(hào)將相互等價(jià)的兩件事情聯(lián)結(jié)，等號(hào)的左右兩邊等價(jià)，至于其中的關(guān)系是用自然語(yǔ)言表示的，還是用數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)的，都不太重要。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年）》（以下簡(jiǎn)稱《課程課標(biāo)》）關(guān)于課程設(shè)計(jì)思路指出：義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程的設(shè)計(jì)，充分考慮本階段學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特點(diǎn)，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和心理特征，有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引發(fā)數(shù)學(xué)思考；充分考慮數(shù)學(xué)本身的特點(diǎn)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的實(shí)質(zhì)；在呈現(xiàn)作為知識(shí)與技能的數(shù)學(xué)結(jié)果的同時(shí)，重視學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生體驗(yàn)從實(shí)際背景中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、尋求結(jié)果、解決問(wèn)題的過(guò)程。同時(shí)還指出：模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過(guò)程包括：從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果、并討論結(jié)果的意義。這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生初步形成模型思想，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識(shí)。在進(jìn)行方程教學(xué)時(shí)，可以先讓學(xué)生用自然語(yǔ)言闡述事情，然后抽象成數(shù)學(xué)表達(dá)，最后用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程，解決問(wèn)題。

教學(xué)片段1：《方程的意義》。

師：觀察天平，說(shuō)出你的發(fā)現(xiàn)。（課件展示）

生1：天平的指針指向中點(diǎn)，說(shuō)明天平平衡了?？梢?jiàn)，天平兩邊的質(zhì)量相等，即一個(gè)空杯子的質(zhì)量為100克。

師：現(xiàn)在天平怎樣了？（課件展示）

生2：杯子加水后，天平不平衡了，天平的左邊質(zhì)量更重了，也就是杯子的質(zhì)量加上水的質(zhì)量后，比100克重了。

師：現(xiàn)在天平又怎樣了？（課件展示）

生3：天平右邊的托盤中再放入一個(gè)100克的砝碼后，天平仍然不平衡，天平左邊的質(zhì)量，即一杯水的質(zhì)量還是比200克重。

師：現(xiàn)在天平怎樣了？（課件展示）

生4：天平右邊的托盤中再放入一個(gè)100克的砝碼后，天平還是不平衡，這時(shí)，天平右邊變重了，即杯子的質(zhì)量加上水的質(zhì)量比300克輕了。

師：現(xiàn)在的天平怎樣了？說(shuō)明了什么？（課件展示）

生5：現(xiàn)在天平又平衡了，說(shuō)明兩邊的質(zhì)量相等，即一杯水重是250克。

師：你能用一個(gè)關(guān)系式表示生3回答中三種量之間的關(guān)系嗎？

生6：杯子的質(zhì)量+水的質(zhì)量>200。

師：還可以怎樣表示呢？

生7：100+水的質(zhì)量>200。

師：你能用一個(gè)關(guān)系式表示生4回答中三種量之間的關(guān)系嗎？

生8：杯子的質(zhì)量+水的質(zhì)量<300。

師：還可以怎樣表示呢？

生9：100+水的質(zhì)量<300。

師：你能用一個(gè)關(guān)系式表示生5回答中三種量之間的關(guān)系嗎？

生10：一個(gè)杯子的質(zhì)量+水的質(zhì)量=250。

師：還可以怎樣表示呢？

生11：100+水的質(zhì)量=250。

師：水的質(zhì)量是多少？不知道?？梢栽鯓颖硎灸?？

生：可以用字母x表示水的質(zhì)量。

師：很好，你們能用含有字母的式子表示生7、生9和生11所說(shuō)的關(guān)系嗎？

生：100+x>200。

生：100+x<300。

生：100+x=250。

師：類似“100+x=250”這樣含有字母的等式，就叫做方程。

片段教學(xué)體現(xiàn)出方程建模的過(guò)程，即將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題情境用自然語(yǔ)言表達(dá)成一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，離析出“100+水的質(zhì)量>200、100+水的質(zhì)量<300和100+水的質(zhì)量=250”的關(guān)系，并將用自然語(yǔ)言表達(dá)的“100+水的質(zhì)量=250”這個(gè)等量關(guān)系，用含有未知數(shù)x的數(shù)學(xué)解析式表示，體現(xiàn)了抽象、概括的過(guò)程，學(xué)生在建模的過(guò)程中，領(lǐng)略到將現(xiàn)實(shí)對(duì)象關(guān)系結(jié)構(gòu)抽象為數(shù)學(xué)符號(hào)式子的過(guò)程，感受方程建模思想。學(xué)生經(jīng)歷從天平“平衡—不平衡—平衡”的過(guò)程，促進(jìn)其在深刻感受關(guān)系結(jié)構(gòu)的變化中，清楚地把握方程思想的關(guān)鍵，即用數(shù)學(xué)符號(hào)把要說(shuō)的話（即兩件等價(jià)事情）表達(dá)出來(lái)，從而體會(huì)方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中等量關(guān)系的重要模型。與此同時(shí)，進(jìn)一步感受數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系。

二、學(xué)會(huì)化歸方法

這是解方程的重點(diǎn)，是一個(gè)運(yùn)算過(guò)程?；瘹w，就是轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的簡(jiǎn)稱?；瘹w方法就是數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的一般方法，其基本思想是：把待解決的問(wèn)題，通過(guò)某種轉(zhuǎn)化手段，歸結(jié)為易解決的另一個(gè)或一些問(wèn)題，從而獲得原問(wèn)題的解決。方程求解力求體現(xiàn)化歸思想，即三元一次方程組可以化歸為二元一次方程組，二元一次方程組可以化歸為一元一次方程，最終化歸為“x=a”的形式。就小學(xué)而言，解一元一次方程，只需要將含有未知數(shù)的項(xiàng)放到方程的一邊，將不含未知數(shù)的項(xiàng)放到方程的另一邊，就可以解出未知數(shù)的值。

例如：

100+x=250

解：100+x-100=250-100

x=150

x-6.5=3.2

解：x-6.5+6.5=3.2+6.5

x=9.7

2.5x=14

解：2.5x÷2.5=14÷2.5

x=5.6

x÷7=0.3

解：x÷7×7=0.3×7

x=2.1

在解一元一次方程的教學(xué)過(guò)程中，要讓學(xué)生明白化歸的方向，即把一元一次方程化歸為x=a的形式，即未知數(shù)等于常數(shù)；要讓學(xué)生掌握化歸的依據(jù)和方法，即借助等式的性質(zhì)及四則運(yùn)算中加和減、乘和除之間的互逆關(guān)系，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，從而獲得問(wèn)題的解決。

（作者單位：福建省廈門市鐘宅民族小學(xué) 責(zé)任編輯：王彬）