在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中應(yīng)用歸納策略探析

☉江蘇省建湖高級(jí)中學(xué) 王 強(qiáng)

本文的“歸納策略”是指在高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中，通過讓學(xué)生對(duì)之前學(xué)過的一節(jié)完整的知識(shí)內(nèi)容，概括出包含在其中的知識(shí)點(diǎn)，挖掘出相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想，并總結(jié)解題方法的策略.傳統(tǒng)的高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)課的教學(xué)方法是把數(shù)學(xué)各知識(shí)點(diǎn)作為結(jié)果直接拋給學(xué)生，讓學(xué)生在理解這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的基礎(chǔ)上做大量的、不同角度、不同類型的習(xí)題.課堂上這種直接拋知識(shí)的方法，無論老師講得多么精彩，學(xué)生都會(huì)因?yàn)橹皇前缪萘伺杂^者、欣賞者的角色，而會(huì)很快地將知識(shí)還給老師，久而久之必然釀成“知識(shí)異化、技能僵化、興趣淡化、思維劣化”的惡果.采取歸納策略，則是讓學(xué)生親身經(jīng)歷歸納、整理的過程，并且和“融匯策略”結(jié)合起來，讓學(xué)生找出其內(nèi)在的關(guān)系，構(gòu)建知識(shí)體系，形成“知識(shí)樹”.以下筆者以具體的教學(xué)實(shí)踐，對(duì)歸納策略進(jìn)行闡釋.

一、歸納策略的具體做法

復(fù)習(xí)新的內(nèi)容之前，讓學(xué)生提前找到原來的課本，自己歸納小結(jié)這部分內(nèi)容的知識(shí)點(diǎn)及數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想.上課時(shí)，讓學(xué)生在全班同學(xué)面前通過投影展示自己的作業(yè)，表達(dá)自己的想法，其他同學(xué)互相補(bǔ)充，互相完善，老師點(diǎn)評(píng).

剛開始，學(xué)生怕說錯(cuò)，不好意思上臺(tái)，我就從數(shù)學(xué)課代表開始，讓班干部帶頭，學(xué)生說得好，表?yè)P(yáng)、鼓勵(lì)；說得不準(zhǔn)確，就積極啟發(fā)、引導(dǎo)；經(jīng)過引導(dǎo)后說對(duì)了，及時(shí)肯定其進(jìn)步，并且告訴學(xué)生，只要循著這條路走下去，數(shù)學(xué)水平就會(huì)不斷提高；即使學(xué)生說得驢唇不對(duì)馬嘴，也要肯定他開動(dòng)腦筋、認(rèn)真思考了.慢慢地，學(xué)生對(duì)上臺(tái)發(fā)言不再拒絕，開始愿意在同學(xué)面前展示自己的作品，討論、交流的氣氛也越來越熱烈，學(xué)生歸納、整理的內(nèi)容也越來越準(zhǔn)確、到位.

二、歸納策略的案例

下面就以一節(jié)使用歸納策略的課堂實(shí)錄為例，談?wù)勎业木唧w做法.

師：這節(jié)課，我們復(fù)習(xí)對(duì)稱問題.昨天，我留了一個(gè)作業(yè)，請(qǐng)同學(xué)們自己歸納在高中階段，你所學(xué)到的有關(guān)對(duì)稱的規(guī)律和對(duì)稱問題.大家都完成了吧？

我站在講臺(tái)上，微笑著詢問大家，同學(xué)們一個(gè)個(gè)點(diǎn)頭回應(yīng)我.

師：好，我從大家的表情上看得出來，大家都完成了作業(yè)，都有自己的新發(fā)現(xiàn).哪個(gè)同學(xué)愿意第一個(gè)說說你的發(fā)現(xiàn)，給大家?guī)€(gè)頭？

由于歸納策略我已使用了較長(zhǎng)的一段時(shí)間，學(xué)生已習(xí)慣在全班面前表達(dá)自己的想法，早已沒有了剛開始時(shí)的不好意思.大家紛紛舉手，我叫了一個(gè)平時(shí)不太愛說話、數(shù)學(xué)成績(jī)不是很好的女生.

生1：點(diǎn)（x，y）關(guān)于原點(diǎn)（0，0）的對(duì)稱點(diǎn)為（-x，-y）；點(diǎn)（x，y）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為（x，-y）；點(diǎn)（x，y）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為（-x，y）；點(diǎn)（x，y）關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)為（y，x）；點(diǎn)（x，y）關(guān)于直線y=-x的對(duì)稱點(diǎn)為（-y，x）.

師：好！準(zhǔn)確、簡(jiǎn)練！你能給你發(fā)現(xiàn)的這個(gè)規(guī)律起個(gè)名字嗎？

生1猶豫，最終未回答出來.

師：誰能給生1總結(jié)的規(guī)律起個(gè)名字？好，生2來幫助一下.

生2：點(diǎn)關(guān)于特殊點(diǎn)和特殊直線的對(duì)稱規(guī)律！

師：不錯(cuò)，就是“點(diǎn)關(guān)于特殊點(diǎn)和特殊直線的對(duì)稱點(diǎn)的規(guī)律”.生1給我們總結(jié)了，他真的是認(rèn)真復(fù)習(xí)、深入思考了.別看他平時(shí)發(fā)言不多，其實(shí)他潛在的數(shù)學(xué)能力是很強(qiáng)的！

（面向生1）很好，請(qǐng)坐.如果你以后發(fā)言的機(jī)會(huì)再多一點(diǎn)，數(shù)學(xué)成績(jī)一定會(huì)提高得更快！

還有誰愿意把自己的發(fā)現(xiàn)介紹給大家？不過這次我增加一個(gè)要求，你除了說出發(fā)現(xiàn)的規(guī)律外，還要給這個(gè)規(guī)律起個(gè)名字.

大家舉手后，提問生3.

師：你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

生3：我發(fā)現(xiàn)了“直線關(guān)于一些特殊直線的對(duì)稱直線”的規(guī)律.

師：好極了，快把你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律告訴大家！

生3：設(shè)直線l：Ax+By+C=0，則l關(guān)于x軸的對(duì)稱直線是Ax+B（-y）+C=0；l關(guān)于y軸的對(duì)稱直線是A（-x）+By+C=0；l關(guān)于直線y=x的對(duì)稱直線是Bx+Ay+C=0；l關(guān)于直線y=-x的對(duì)稱直線是B（-x）+A（-y）+C=0.

師：生3給我們總結(jié)了直線關(guān)于一些特殊直線的對(duì)稱直線，記憶方法和點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱方法完全一樣.非常好.但如果不是特殊的點(diǎn)和特殊直線怎么辦呢？

生3征求我的同意后，拿著筆記本走到講臺(tái)前，通過實(shí)物投影，一邊向全班展示他的作業(yè)，一邊解釋.“（1）A（5，8），B（4，1），求A點(diǎn)關(guān)于B點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)C的坐標(biāo)，就是點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問題，可用中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決.（2）求點(diǎn)A（2，2）關(guān)于直線2x-4y+9=0的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)，是點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問題，由幾何圖形的性質(zhì)，可知A關(guān)于直線2x-4y+9=0的對(duì)稱點(diǎn)A′與A點(diǎn)的中點(diǎn)在直線2x-4y+9=0上，且直線AA′與直線2x-4y+9=0垂直，據(jù)此，列出方程組可求出點(diǎn)A′的坐標(biāo).（3）求直線l1：x-y-2=0關(guān)于直線l：3x-y+3=0對(duì)稱的直線l2的方程.顯然，直線l2必過直線l1和直線l的交點(diǎn)，再利用到角公式可求出直線l1的斜率，就能求出直線l2.（4）求直線3x-y-4=0關(guān)于點(diǎn)（2，-1）對(duì)稱的直線l的方程，是直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問題，直線l必與已知直線平行，再通過點(diǎn)到直線的距離公式，就能求出直線l.

師：生3不僅給我們總結(jié)了點(diǎn)和直線關(guān)于一般點(diǎn)和一般直線的對(duì)稱規(guī)律，還給我們列舉了相應(yīng)的例題，使我們理解起來更形象.那么，在其他的章節(jié)中還有哪些對(duì)稱規(guī)律嗎？

生4：在函數(shù)這部分內(nèi)容中，奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸成軸對(duì)稱，互為反函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱.

師：函數(shù)圖像的對(duì)稱性，也是我們經(jīng)常遇到的對(duì)稱問題，生4給我們總結(jié)了函數(shù)圖像對(duì)稱的特殊情況，現(xiàn)在我們將其推廣到一般情況，還是讓我們從一個(gè)具體問題入手：請(qǐng)畫出f（x）=xa2-4x-3的圖像，觀察圖像，你是否能發(fā)現(xiàn)什么對(duì)稱規(guī)律？學(xué)生開始畫圖.

生4：圖像關(guān)于直線x=2成軸對(duì)稱圖形.

師：圖像關(guān)于直線x=2成軸對(duì)稱圖形又該如何表達(dá)？請(qǐng)大家仔細(xì)觀察圖像.

學(xué)生的注意力已高度集中，處于知識(shí)簡(jiǎn)單積累后的膨發(fā)狀態(tài)，偶然的一次觸動(dòng)都有可能帶來認(rèn)知上質(zhì)的飛躍.我將其圖像打在投影上，一邊提示數(shù)形結(jié)合，一邊不失時(shí)機(jī)地把鼠標(biāo)在對(duì)稱軸兩側(cè)點(diǎn)擊.生4又站起來答道：“f（1+x）=f（1-x）”.

師：很好，生4通過現(xiàn)象看到了問題的本質(zhì)，當(dāng)圖像關(guān)于直線x=a成軸對(duì)稱圖形時(shí)，對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)自變量x都有關(guān)系式f（a-x）=f（a+x），其中x=a為對(duì)稱軸，當(dāng)a=0時(shí)，就是直線關(guān)于y軸對(duì)稱，即特殊情況.

通過實(shí)施歸納策略，學(xué)生不僅強(qiáng)化了探究學(xué)習(xí)的思維品質(zhì)，而且掌握了知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，學(xué)生學(xué)習(xí)興趣空前高漲，對(duì)相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)掌握得更全面、更深刻，課后練習(xí)及測(cè)驗(yàn)顯示，學(xué)生的解題能力明顯提高.

三、歸納策略的使用說明

1.歸納是重要的思維方法，幫助學(xué)生掌握這種思維方法，應(yīng)該貫穿在數(shù)學(xué)教學(xué)的全過程中.在新課教學(xué)中，教師應(yīng)該在每一個(gè)小的知識(shí)段落結(jié)束時(shí)，在一個(gè)大的知識(shí)段結(jié)束時(shí)，都適時(shí)地進(jìn)行從微觀到宏觀的歸納，讓學(xué)生從葉到枝、從枝到干，逐漸看到知識(shí)樹的全貌.而在復(fù)習(xí)課中，教師應(yīng)該在每一個(gè)大的知識(shí)段開始時(shí)，在一個(gè)小的知識(shí)段開始時(shí)，都進(jìn)行從宏觀到微觀的知識(shí)結(jié)構(gòu)展示，使學(xué)生在每個(gè)知識(shí)段復(fù)習(xí)開始前，先掌握本段知識(shí)的結(jié)構(gòu)，再輔導(dǎo)學(xué)生歸納出蘊(yùn)含在教材中的知識(shí)點(diǎn)，深入挖掘其中的數(shù)學(xué)思想，總結(jié)解題方法.

2.讓學(xué)生掌握歸納策略，必須課上與課下相結(jié)合，課上重點(diǎn)講學(xué)習(xí)方法，課下做一定數(shù)量的習(xí)題.解數(shù)學(xué)題不是單純地學(xué)習(xí)知識(shí)，而是要在學(xué)習(xí)有關(guān)知識(shí)的基礎(chǔ)上掌握解題技能.而要掌握一種技能，沒有一定數(shù)量的練習(xí)是不可能的.

1.王經(jīng)虎.淺談數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí).湖北教育，2004（12）：22-25.

2.肖川.學(xué)習(xí)方式的變革.教育理論與實(shí)踐，2002（3）：54-58.