在高三數學復習教學中應用歸納策略探析

☉江蘇省建湖高級中學 王 強

本文的“歸納策略”是指在高中數學復習教學中，通過讓學生對之前學過的一節完整的知識內容，概括出包含在其中的知識點，挖掘出相應的數學思想，并總結解題方法的策略.傳統的高三數學總復習課的教學方法是把數學各知識點作為結果直接拋給學生，讓學生在理解這個知識點的基礎上做大量的、不同角度、不同類型的習題.課堂上這種直接拋知識的方法，無論老師講得多么精彩，學生都會因為只是扮演了旁觀者、欣賞者的角色，而會很快地將知識還給老師，久而久之必然釀成“知識異化、技能僵化、興趣淡化、思維劣化”的惡果.采取歸納策略，則是讓學生親身經歷歸納、整理的過程，并且和“融匯策略”結合起來，讓學生找出其內在的關系，構建知識體系，形成“知識樹”.以下筆者以具體的教學實踐，對歸納策略進行闡釋.

一、歸納策略的具體做法

復習新的內容之前，讓學生提前找到原來的課本，自己歸納小結這部分內容的知識點及數學方法、數學思想.上課時，讓學生在全班同學面前通過投影展示自己的作業，表達自己的想法，其他同學互相補充，互相完善，老師點評.

剛開始，學生怕說錯，不好意思上臺，我就從數學課代表開始，讓班干部帶頭，學生說得好，表揚、鼓勵；說得不準確，就積極啟發、引導；經過引導后說對了，及時肯定其進步，并且告訴學生，只要循著這條路走下去，數學水平就會不斷提高；即使學生說得驢唇不對馬嘴，也要肯定他開動腦筋、認真思考了.慢慢地，學生對上臺發言不再拒絕，開始愿意在同學面前展示自己的作品，討論、交流的氣氛也越來越熱烈，學生歸納、整理的內容也越來越準確、到位.

二、歸納策略的案例

下面就以一節使用歸納策略的課堂實錄為例，談談我的具體做法.

師：這節課，我們復習對稱問題.昨天，我留了一個作業，請同學們自己歸納在高中階段，你所學到的有關對稱的規律和對稱問題.大家都完成了吧？

我站在講臺上，微笑著詢問大家，同學們一個個點頭回應我.

師：好，我從大家的表情上看得出來，大家都完成了作業，都有自己的新發現.哪個同學愿意第一個說說你的發現，給大家帶個頭？

由于歸納策略我已使用了較長的一段時間，學生已習慣在全班面前表達自己的想法，早已沒有了剛開始時的不好意思.大家紛紛舉手，我叫了一個平時不太愛說話、數學成績不是很好的女生.

生1：點（x，y）關于原點（0，0）的對稱點為（-x，-y）；點（x，y）關于x軸的對稱點為（x，-y）；點（x，y）關于y軸的對稱點為（-x，y）；點（x，y）關于直線y=x的對稱點為（y，x）；點（x，y）關于直線y=-x的對稱點為（-y，x）.

師：好！準確、簡練！你能給你發現的這個規律起個名字嗎？

生1猶豫，最終未回答出來.

師：誰能給生1總結的規律起個名字？好，生2來幫助一下.

生2：點關于特殊點和特殊直線的對稱規律！

師：不錯，就是“點關于特殊點和特殊直線的對稱點的規律”.生1給我們總結了，他真的是認真復習、深入思考了.別看他平時發言不多，其實他潛在的數學能力是很強的！

（面向生1）很好，請坐.如果你以后發言的機會再多一點，數學成績一定會提高得更快！

還有誰愿意把自己的發現介紹給大家？不過這次我增加一個要求，你除了說出發現的規律外，還要給這個規律起個名字.

大家舉手后，提問生3.

師：你發現了什么規律？

生3：我發現了“直線關于一些特殊直線的對稱直線”的規律.

師：好極了，快把你發現的規律告訴大家！

生3：設直線l：Ax+By+C=0，則l關于x軸的對稱直線是Ax+B（-y）+C=0；l關于y軸的對稱直線是A（-x）+By+C=0；l關于直線y=x的對稱直線是Bx+Ay+C=0；l關于直線y=-x的對稱直線是B（-x）+A（-y）+C=0.

師：生3給我們總結了直線關于一些特殊直線的對稱直線，記憶方法和點關于直線的對稱方法完全一樣.非常好.但如果不是特殊的點和特殊直線怎么辦呢？

生3征求我的同意后，拿著筆記本走到講臺前，通過實物投影，一邊向全班展示他的作業，一邊解釋.“（1）A（5，8），B（4，1），求A點關于B點的對稱點C的坐標，就是點關于點的對稱問題，可用中點坐標公式解決.（2）求點A（2，2）關于直線2x-4y+9=0的對稱點坐標，是點關于直線的對稱問題，由幾何圖形的性質，可知A關于直線2x-4y+9=0的對稱點A′與A點的中點在直線2x-4y+9=0上，且直線AA′與直線2x-4y+9=0垂直，據此，列出方程組可求出點A′的坐標.（3）求直線l1：x-y-2=0關于直線l：3x-y+3=0對稱的直線l2的方程.顯然，直線l2必過直線l1和直線l的交點，再利用到角公式可求出直線l1的斜率，就能求出直線l2.（4）求直線3x-y-4=0關于點（2，-1）對稱的直線l的方程，是直線關于點的對稱問題，直線l必與已知直線平行，再通過點到直線的距離公式，就能求出直線l.

師：生3不僅給我們總結了點和直線關于一般點和一般直線的對稱規律，還給我們列舉了相應的例題，使我們理解起來更形象.那么，在其他的章節中還有哪些對稱規律嗎？

生4：在函數這部分內容中，奇函數的圖像關于原點成中心對稱，偶函數的圖像關于y軸成軸對稱，互為反函數的圖像關于直線y=x對稱.

師：函數圖像的對稱性，也是我們經常遇到的對稱問題，生4給我們總結了函數圖像對稱的特殊情況，現在我們將其推廣到一般情況，還是讓我們從一個具體問題入手：請畫出f（x）=xa2-4x-3的圖像，觀察圖像，你是否能發現什么對稱規律？學生開始畫圖.

生4：圖像關于直線x=2成軸對稱圖形.

師：圖像關于直線x=2成軸對稱圖形又該如何表達？請大家仔細觀察圖像.

學生的注意力已高度集中，處于知識簡單積累后的膨發狀態，偶然的一次觸動都有可能帶來認知上質的飛躍.我將其圖像打在投影上，一邊提示數形結合，一邊不失時機地把鼠標在對稱軸兩側點擊.生4又站起來答道：“f（1+x）=f（1-x）”.

師：很好，生4通過現象看到了問題的本質，當圖像關于直線x=a成軸對稱圖形時，對于定義域內的任意一個自變量x都有關系式f（a-x）=f（a+x），其中x=a為對稱軸，當a=0時，就是直線關于y軸對稱，即特殊情況.

通過實施歸納策略，學生不僅強化了探究學習的思維品質，而且掌握了知識之間的內在聯系，學生學習興趣空前高漲，對相應的數學知識掌握得更全面、更深刻，課后練習及測驗顯示，學生的解題能力明顯提高.

三、歸納策略的使用說明

1.歸納是重要的思維方法，幫助學生掌握這種思維方法，應該貫穿在數學教學的全過程中.在新課教學中，教師應該在每一個小的知識段落結束時，在一個大的知識段結束時，都適時地進行從微觀到宏觀的歸納，讓學生從葉到枝、從枝到干，逐漸看到知識樹的全貌.而在復習課中，教師應該在每一個大的知識段開始時，在一個小的知識段開始時，都進行從宏觀到微觀的知識結構展示，使學生在每個知識段復習開始前，先掌握本段知識的結構，再輔導學生歸納出蘊含在教材中的知識點，深入挖掘其中的數學思想，總結解題方法.

2.讓學生掌握歸納策略，必須課上與課下相結合，課上重點講學習方法，課下做一定數量的習題.解數學題不是單純地學習知識，而是要在學習有關知識的基礎上掌握解題技能.而要掌握一種技能，沒有一定數量的練習是不可能的.

1.王經虎.淺談數學探究性學習.湖北教育，2004（12）：22-25.

2.肖川.學習方式的變革.教育理論與實踐，2002（3）：54-58.