蔡元定“因數明理”的三種方式——數學在象數易學中的作用初探

庹永

一、蔡元定“因數明理”的三種方式

宋代象數易學可分為象學派和數學派。象學派認為象在數先，有把象作為本體的傾向，代表人物有周敦頤、朱震等。數學派認為數在象先，有把數作為本體的傾向，代表人物有劉牧、邵雍等。數學派把“數”作為表征天地萬物之理的符號，這個“數”不能等同于數學科學中的數字，但又確實和數字有關，其中也包含一些簡單的數學運算。那么，數學（指數學科學）在數學派的理論中到底起到怎樣的作用？

我們以蔡元定的象數學為例考察這個問題。蔡元定（1135-1198），字季通，學者稱西山先生，福建建陽人，被譽為“朱門領袖”、“閩學干城”。他曾參與朱熹《易學啟蒙》的寫作，著有《律呂新書》探討樂律問題，著有《皇極經世指要》闡發邵雍先天學。蔡元定是邵雍學說的主要繼承者之一，他特別重視數的作用，并且有意模仿《周易》構建一個“數”的系統。《西山公集》引《鶴林玉露》說：“濂溪、明道、伊川、橫渠之講道盛矣，因數明理，復有一邵康節出焉；晦庵、南軒、東萊、象山之講道盛矣，因數明理，復有一蔡西山出焉。”［1］695將蔡元定與邵雍并列，認為二人學術的特色與貢獻都在于“因數明理”，即以“數”為主要的工具來闡發“理”。從數學科學的角度看，蔡元定“因數明理”有三種方式：設計模型、賦予哲理和類比關聯。

（一）設計模型：為明理的需要而設計數學模型

邵雍在《皇極經世》中經常采用一種四乘四的數學模型。以對圣人地位的說明為例，《皇極經世·觀物內篇》說：“士士之民一之一，士農之民一之十，士工之民一之百，士商之民一之千。農士之民十之一，農農之民十之十，農工之民十之百，農商之民十之千。工士之民百之一，工農之民百之十，工工之民百之百，工商之民百之千。商士之民千之一，商農之民千之十，商工之民千之百，商商之民千之千。”這就是將士、農、工、商四者進行排列組合，從而將民劃分為十六種，同時將一、十、百、千也排列組合，與前者對應。士士之民一之一就表明這類人層次是最高的，士中之士即是圣人，這個模型很好地展現了對人的等級劃分。蔡元定很看重這個模型，他評價說：“是故元會運世、春夏秋冬、生長收藏各相因而為十六，皇帝王伯、易書詩春秋、道德功力亦各相因而為十六，十六者四象相因之數也。凡天地之變化、萬物之感應、古今之因革損益皆不出乎十六，十六而天地之道畢矣。”［1］635把這個模型神圣化了，認為它可以窮盡天地萬物的道理。

從今天的角度看，雖然這個模型很好地表達了作者的某種觀念，但其中的數學運算并不表示相關事物的任何內在規律性，數學在其中只起到了外在編號和排序的作用。這個模型幾乎可以用在任何的事物上，反過來，用三乘三或者五成五等其他模型也可以表達同樣的觀念。邵雍之所以選擇了四乘四，只不過是對應四季、四民、四象這樣的傳統說法。關鍵在于，這里不是通過數學運算推演出某個結果，而是先認定了某種觀念，然后設計一個數學模型去匹配，去表達這個觀念。

既然是觀念在先，數學在后，蔡元定在運用數學的時候就不可避免有很強的主觀性。有時為了滿足已經設定好的數學模型，當其中的某一項在現實世界中有真實數據時，蔡元定會舍棄真實數據，而采用一個他認為完美的約數。比如在闡述邵雍的元會運世學說時，蔡元定將一元比作一年，元會運世之間的換算比率，正對應年月日時之間的換算比率。1元12會、1會30運、1運12世對應于 1年 12月、1月 30日、1日12辰。按照這個運算比率，1元有360運，1年有360天，1元有129600年，1年有129600時辰，蔡元定認為這都是自然規律的數學表現。但實際上當時已經知道360并不是一年的準確天數。當有人對此提出疑問：“氣盈于三百六十六，朔虛于三百五十四，今經世之數概以三百六十為率，何也？”蔡元定回答：“所以藏諸用也，消息盈虛之法在其間矣。 ”［1］640何為“藏諸用”？邵雍《皇極經世·觀物外篇》中談到過這個問題：“顯諸仁者，天地生萬物之功，則人可得而見也。所以造萬物，則人不可得而見，是藏諸用也。……顯諸仁也，其度數之然，而不知其所以然，是藏諸用也。 ”［2］523-524所謂“顯諸仁”的，就是可以看到的現象，比如天地萬物的存在與運動、日月運行、四季更替，也就是“然”；所謂“藏諸用”的，就是不可觀察的現象背后的東西，也就是“所以然”。具體到上面的例子，歷法中的354天、366天，都是實際科學觀測的結果，是表面現象，而360這個數字是表面看不見的，是隱藏在現象本后的更根本的原理。

可以看出來，蔡元定已經發現了數學中的簡潔美，他認為萬物背后的原理如果用數學來表達，肯定是具有美感的，所以把一年的天數簡化為360。只是這樣的操作主觀性太強，依然是擺弄數字，以滿足既定的設想。這樣主觀構想出來的天地運行原理根本不能運用到實際的歷法當中，數學在這里根本沒有起到表達真實規律的作用。

（二）賦予哲理：賦予某種數學現象以哲理，或者給予某種數學現象以哲學解釋

蔡元定著有一部樂律學著作《律呂新書》，論及從黃鐘生十一律的時候，用到了九進制：“黃鐘九寸，以三分為損益，故以三歷十二辰得一十七萬七千一百四十七，為黃鐘之實……其寸分厘毫絲之法皆用九數，故九絲為毫，九毫為厘，九厘為分，九分為寸，為黃鐘。”［1］660此處所述的是三分損益法生十一律計算之前的準備工作。三分損益法，如果以黃鐘的長度9寸作為計算的起始值，那么其他十一律的長度會出現不少無限小數，影響精確度。從黃鐘生出十一律，2/3與4/3間隔相乘11次，最后的分母就是311。“三歷十二辰”即從30=1到311=177147。所以，如果預設黃鐘的長度為311，那么運算到最后311和311相除的結果是1，就避免了小數的出現。于是把黃鐘的數值設定為311即177147，稱為“黃鐘之實”。但這個大數只是為了運算方便，它并不表示具體的長度，用它運算出的其他十一律的數值也是如此，這些數值還需要除以“寸分厘毫絲之法”才能得出長度值。“法”的具體數值《律呂新書》中有載，這里不再贅述。值得注意的是，“分厘毫絲之法皆用九數，故九絲為毫，九毫為厘，九厘為分，九分為寸”，就是說三分損益法各單位之間的換算采用的是九進制，即1寸=9分，1分=9厘，1厘=9毫，1毫=9絲。這樣運算會帶來一個結果，就是其運算結果的數值是以九進制形式表示的。這有一個好處，因為剛才設定的那些大數都是3的n次方，采用九進制運算，其結果就不會出現無限小數。若采用十進制運算，因為1/3=0.333…，運算結果中就會出現無限小數。所以，這里九進制的采用是為了運算的方便和結果的精確性，完全是一個數學計算上的技術問題，這一點蔡元定在《律呂新書·律呂辯證》中也有說明：“黃鐘九寸以三損益，數不出九，茍不盈分者十之則其奇零無時而能盡……夫自絲以下雖非目力之所能分，然既有其數，而或一算之差，則法于此而遂變，不以約十為九之法分之則有終不可得而齊者。”［1］675采用九進制算法，其目的就是為了數值的精確。

雖然九進制的采用只是計算上的技術問題，蔡元定還是對其做出了哲學的解釋，當有人問：“徑圍之分以十為法，而相生之分厘毫絲以九為法，何也？”蔡元定回答說：“以十為法者，天地之全數也，以九為法者，因三分損益而立也。全數者即十而取九，相生者約十而為九，即十而取九者體之所以立，約十而為九者用之所以行，體者所以定中聲，用者所以生十一律也。”［1］660“以十為法”即采用十進制，是因為十是天地之全數，“以九為法”即采用九進制，是因為三分損益法計算的需要，二者之間是體用關系。十進制是體之所以立，九進制是用之所以行。以體定中聲，即黃鐘的尺寸是用十進制表示的，以用生十一律，即生十一律時采用的是九進制運算。這是用易學中的“天地之數”概念以及傳統哲學中的“體用”范疇來解釋樂律計算中出現的純數學現象。雖然蔡元定明確說明這是技術問題，其目的是為了計算的方便和計算結果的精確性，但仍然對此給予了哲學解釋。“設計模型”是觀念在先，數學配合，“賦予哲理”是數學現象在先，哲理配合。

（三）類比關聯：指當兩種理論中出現了同樣的數字時，就可以據此將二者聯系起來，并對此現象做出哲學解釋

當有人問：“日辰之數由天五地六錯綜而生，律呂之數由黃鐘九寸損益而生，二者不同，至數之成則日有六甲、辰有五子為六十日，律呂有六律五聲為六十調，若合符節，何也？”就是說歷法中有六甲五子，律呂中有六呂五聲，二者在數字上類似。日辰之數在易學看來是天地之數交錯形成的，而律呂之數是由單個黃鐘通過三分損益法得出來的，方法不同，但結果都是60。這二者之間看起來好像有什么聯系，到底怎么回事呢？但蔡元定回答說：“夫理必有對待，數之自然者也。以天五地六合陰與陽言之，則六甲五子究于六十，其三十六為陽，二十四為陰。以黃鐘九寸紀陽不紀陰言之，則六律五聲究于六十，亦三十六為陽，二十四為陰。蓋一陽之中又自有陰陽也，非知天地之化育者不能與于此。”［1］667蔡元定認為這個不是巧合，這是陰陽運行規律的體現，二者之所以若合符節，就是因為二者都遵循陰陽運行的規律。從現代科學的角度來看，如果兩個系統出現了類似的運算結果，當然有理由對二者的關系進行研究，這種思路并無不妥。但問題在于，蔡元定不只是猜測二者之間有聯系，而是直接肯定兩種理論之間必然有聯系，并找來現成的陰陽理論給予解釋。所以，數學在這里也沒有起到探索萬物規律的作用，而只是一個類比聯想的中介符號。

二、兩點發現

其一，數學在蔡元定象數學中只是被作為一種表達“理”的象征性工具，從“設計模型”這一方式就可以看出來。蔡元定之所以選擇“數”作為表達“理”的工具，表明他已經看到數學可以表達事物的規律。但在這種方式中，數學所反映的不是事物之間真實的數量關系，而只是被作為一種象征符號。這種思路，《系辭》已有，《系辭》說“乾之策二百一十有六，坤之策百四十有四，凡三百有六十，當期之日；二篇之策，萬有一千五百二十，當萬物之數也”，“當”就是象征，朱熹曾明確指出這一點：“二篇之策當萬物之數者，不是萬物盡于此數，只是取象自一而萬，以萬數來當萬物之數耳。”［1］633所謂的萬物之數不是真實萬物的數量，而只不過是一種模擬和象征。

其二，數學混合在易學哲學當中，尚未獨立出來。通過“賦予哲理”這一方式可以看出，在蔡元定的思考方式中，科學思維與哲學思維是混同的，他不能接受在哲學上找不到依據的純粹科學現象，或者說，他不會僅僅去描述純粹科學或技術的現象而不追問背后的根據。這是一種事實與價值合一的整體性思維。整體性思維在今天很有價值，有助于提醒人們對科學進行價值引導。但需要指出的是，蔡元定并不是從技術出發，深入反思其價值依據，他只是拿一些現成的理論去搭配要解釋的現象，采用的只是簡單的聯想、類比思維。在“類比關聯”這一方式中，蔡元定所運用的也只是簡單的類比思維。要形成數學科學，沒有嚴密的邏輯思維是不可能的。

[1]蔡元定.西山公集[C].四庫全書存目叢書·集部346冊.濟南：齊魯書社，1997.

[2]邵雍.皇極經世書[M].鄭州：中州古籍出版社，2007.