從兩節 “同課異構”課的對比看數學教學中的發現過程

惠丹妮，黃小津

一、引言

“同課異構”對比分析是就學科中同一教學內容，由兩位或兩位以上教師根據各自不同的教學設計方案，分別在兩個或兩個以上同水平班級授課，聽課后所進行的比較性研究[1]。在“同課異構”活動中，雖然教學內容相同，由于教學理念不同，導致教學設計差異，引起教學效果的差異。而發現過程指的是在教師引導下，學生利用資料或情境自覺地主動地探索，從而不斷發現問題和解決問題，培養獨立思考能力的一種教學過程。《數學課程標準》課程實施建議明確指出：“教學應該結合具體的教學內容采用‘問題情境—建立模型—解釋、應用與拓展’模式展開，讓學生經歷知識的形成與應用過程?！背浞煮w現了數學教學中發現過程的重要地位。本文通過對兩節“同課異構”課中兩位數學教師對同一內容完全不同的教學過程全面的對比分析，來探討中學數學教學中發現過程的有效性。

二、教學背景介紹及教學片段對比分析

兩節“同課異構”課的教學內容是北師大版高中數學必修二第一章第六節第一課時垂直關系的判定?！墩n程標準》指出本節課學習目標是：通過直觀感知、操作確認，歸納出線面垂直的判定定理；能運用判定定理證明一些空間位置關系的簡單命題。兩節課的教學對象為高一年級同等層次的兩個班級。兩位教師都是高一年級數學教師。第一位教師（A）和第二位數學教師（B），均在各自班級上同樣的課，對學生情況非常熟悉。

（一）教學片段1的對比

上課鈴響后，教師A進入教室，打開多媒體，將旗桿垂直于地面的圖片展示給學生，讓學生觀察，接著對學生提出三個問題：

(1)陽光下，旗桿AB與它在地面上的影子BC所成的角度是多少？

(2)隨著太陽的移動,影子BC的位置也會移動,而旗桿AB與影子BC所成的角度是否會發生改變?

(3)旗桿AB與地面上任意一條不過點B的直線的位置關系如何?

學生齊聲回答問題。接著教師A給出本節課的直線與平面垂直的定義。

在這個過程中，可以說是由問題情境引入的，學生的注意力集中，在回答完問題后，打開課本，準備學習。

上課鈴聲響后，教師B進入教室，打開多媒體，把本節課的標題呈現到多媒體上，同時對學生說：“同學們，這節課我們一起來探究垂直關系，那么在我們生活中有哪些垂直關系？”學生回答問題，舉例如旗桿與地面、暖氣管道與地面、人體直立時和地面等等。老師拿起課本，將它直立在講桌上說：“同學們舉得例子都非常好，現在我們拿一個小模型來研究研究。大家看書脊和桌面是否垂直？”學生開始動手擺課本，然后回答。教師B接著發問：“把書脊看做直線，桌面看做平面，書頁與桌面的交線看做平面上的直線，他們之間有什么關系？”學生看書本模型，并迅速回答。課堂氣氛十分活躍。教師請學生總結自己的發現。

在引課部分，教師A與教師B均注意到了生活中實例的運用，相比較而言，教師A引課用時少，學生注意力集中，但參與度低，以教師講授為主。教師B引課部分用時較多，學生參與度更高，加入具體模型感知，學生處于主體地位。

（二）教學片段2的對比

教師A在引入新課后，在多媒體上顯示以下兩個辨析題：

如果一條直線垂直于一個平面內的無數條直線，那么這條直線就與這個平面垂直。

如果一條直線垂直于一個平面，那么這條直線是否垂直于這個平面內的所有直線？

學生對于辨析?意見不統一，教師A講解。對于辨析?回答正確。教師A再次強調定義。

整個過程學生認真記筆記，學生雖然有發言，但是與教師之間的互動和交流很少。作為對定義的加深理解，教師A通過辨析題的形式，邏輯嚴謹，課堂依舊以教師的教為主。

教師B在學生總結自己的發現后，歸納出直線與平面垂直的定義。同時將一支粉筆放在書本旁與書頁不接觸，問學生是否與書脊垂直。學生用筆跟著做，發現將筆平行移動即可得書脊與筆垂直。教師B總結：“在這個過程中，我們再次驗證了一條直線垂直于一個平面那么它與平面內所有的直線都垂直。除此之外，在平移的過程中，可以給我們什么啟示？”學生討論后答，如果兩直線垂直，那么一條直線與另一條的平行線也垂直。教師B在多媒體上顯示：如果一條直線垂直于一個平面內的無數條直線，那么這條直線就與這個平面垂直。讓學生辨析。學生迅速給出答案。

這個過程中，學生動手動腦，顯得非常活躍，課堂氣氛活潑。學生學習主動性強，由引課部分自然過渡到對定義的進一步探究，學生通過具體感知，這對于剛剛接觸空間幾何的學生來說更容易接受。

（三）教學片段3的對比

教師A讓學生觀察長方體的側棱與底面內AB、BC的位置關系。引導學生分析,提出猜想。

接著請學生拿出準備好的一塊（任意）三角形的紙片，做一個實驗：過△ABC的頂點A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上（BD、DC與桌面接觸），觀察并思考：

①折痕AD與桌面垂直嗎？

②如何翻折才能使折痕AD與桌面所在的平面垂直？

再引導學生觀察,多媒體演示翻折過程。然后提出問題：由折痕AD⊥BC，翻折之后垂直關系，即AD⊥CD，AD⊥BD發生變化嗎？由此你能得到什么結論？

在學生實驗完成之后，教師A先請學生歸納自己的結論，然后總結得出定理。

在實驗過程中，學生的積極性被充分調動，學習興趣較之前面的時候更加濃厚。

教師B用多媒體向學生展示了三個問題，即長方體模型中的垂直關系、賀卡如何在桌面上直立以及由此可以得到什么猜想。然后，學生進行自主討論，提出猜想。

學生提出猜想后，教師B拿出三角形紙片，同時多媒體上顯示：

折紙實驗：過△ABC的頂點A翻折紙片，得到折痕AD，再將翻折后的紙片直立在桌面上（BD、DC與桌面接觸）

學生用三角形紙片驗證自己提出的猜想，同時小組討論交流。

根據《中學數學課程標準》，本節課對于定理的得到，要求學生通過直觀感知，操作確認即可。在這一部分中，教師A與教師B均利用長方體模型與三角形紙片實驗，教師A的教學過程中是由直觀感知，動手操作得到判定定理，由具體到抽象。教師B的教學過程是由長方體模型、紙片實驗讓學生得到猜想，再由紙片實驗操作確認。學生親歷了數學研究的過程，體驗到探索的樂趣，從之后的例題與習題學生的參與和反應上可以看出教師A的教學雖然邏輯嚴密，教師B的教學學生學習興趣更高，主動性更強，親歷數學研究的發現過程，學生對于定義及定理的理解更為深刻。

三、對中學數學教學的啟示

（一）課程引入中 “發現問題”，激發學習興趣

教學中引入課題的環節往往是提出問題的過程,在數學教學中數學問題的產生需要經過一系列的思維活動。在這兩節課中，教師A通過舉出旗桿的例子，提出問題，教師B則是讓學生自己尋找生活中線面垂直的例子，再通過書本的例子，讓學生自己發現線與面之間的內在聯系，符合數學研究的規律，學生在發現問題的過程中由具體到抽象，培養學生的幾何觀察能力。

（二）創設發現環境，引發發現動機

美國心理學家布魯納認為，“在教學過程中，學生是一個積極的探索者，教師的作用是要形成一種學生能獨立探索的情境，幫助學生形成豐富的想象?！痹诮虒W片段2中，教師A與教師B的教學設計完全不同，教師A辨析題的形式，雖然邏輯嚴謹，但對于剛接觸立體幾何的學生來說，抽象的、嚴謹的數學表述不利于他們的理解，教師應遵循學生的認知規律，創設學生思維的環境，引發學生的發現動機，交給學生打開數學大門的鑰匙，而不是一味地傳授知識。教師B在這一環節中延續使用課題引入中的書本模型，繼續與學生一起探索線面垂直的定義，用直觀的具體的事物引發學生的發現動機，讓學生去探索，這與新課改中要求以學生為主體是一致的，學生的主動性得到充分發揮。在中學數學教學中，傳統教學模式以教師的教為主，學生能做的只能一味的接受知識，而在教學中精心設計發現過程，讓學生體悟數學研究的過程，對培養學生發現問題、解決問題的能力也是大有幫助的。

（三）培養猜想能力，體會發現過程

當學生接觸到數學問題，最初往往是一種直覺思維，是對數學對象及其結構的一種迅速的識別及簡單的判斷。法國數學家彭加勒曾指出：“邏輯是證明的工具，直覺是發明的工具”[2]。在教學中我們應該重視學生的直覺思維，并利用直覺思維，通過合情推理，大膽猜想，讓學生真正體會到知識產生的過程。在線面垂直判定定理的得到進程中，教師A借助學生最熟悉的長方體模型，引導學生分析，并以此為基礎，進行合情推理，然后得出結論?？梢钥闯觯處烝的這種設計其實也是一種發現過程，但是是學生跟著教師的腳步一步一步發現，學生的主動性有一定的體現，學生學習的積極性也提高了。而教師B對于這一部分的處理開始同樣借助長方體模型讓學生直觀感知，同時加入了紙片實驗，將問題生活化、簡單化，提高了學生學習的興趣，然后引導學生提出猜想，接著讓學生驗證猜想，這個發現定理的過程，使學生在自己的實踐中感受數學探索的樂趣，獲得成功的體驗，在討論交流中提高學生的積極性和創造性。這樣的設計中，在學習過程中學生是主動的，對所學習的內容理解更加透徹。當然，這種設計所需的時間較長，對于精心設計的發現過程可以取得良好的教學效果，但占用時間較長，其有效性與可執行性仍值得商榷。

[1]于飛.從兩節同課異構課的對比分析看英語課堂詞匯教學的有效性[J].英語教師，2011，(7):38-41.

[2]施永新.例談數學教學中發現性思維能力的培養[J].中學數學,1993，(11)：6-7.