圓錐曲線動弦的“保值性”

☉江蘇省灌云縣楊集高級中學 李 昌

圓錐曲線的許多性質不僅優美而且和諧.文［1］得到了圓錐曲線中關于動弦的性質1.

性質1過圓錐曲線上一定點P任作兩條動弦PA、PB，當這兩弦的斜率之積、斜率之和或者傾斜角之和三者中有一個為定值時，動弦AB所在直線過定點或有定向.

此性質動靜結合，很優美，但不具和諧性！因為條件中的動弦有兩條，且它們在方向上存在某種靜態，而結論中的動弦只有一條，其靜態也不完全體現在方向上.由此想到：是否可以找到兩條直線，它們的方向存在與條件相對應的靜態呢？

結合性質1，進一步探究發現，動弦AB過定點Q時，直線PQ和曲線在點P處的切線l與動弦PA、PB在方向上具有一致的定值；動弦AB有定向時，動弦AB和曲線在點P處的切線l與動弦PA、PB在方向上也具有一致的定值.據此，既能使條件的定值在結論中得到保全，又能使定點定向歸為統一，結論更優美和諧.故將其稱為圓錐曲線動弦的“保值性”，即：

性質2過圓錐曲線上一定點P任作兩條動弦PA、PB，設圓錐曲線C在點P處的切線為l，用kPA表示直線PA的斜率，αPA表示直線PA的傾斜角，其他類似.

（1）當kPA·kPB=t（t為定值）時，動弦AB所在直線若過定Q，在kPQ存在時，滿足kPQ·kl=t，動弦AB若有定向，在kAB存在時，滿足kAB·kl=t；

（2）當kPA+kPB=t（t為定值）時，動弦AB所在直線若過定Q，在kPQ存在時，滿足kPQ+kl=t，動弦AB若有定向，在kAB存在時，滿足kAB+kl=t；

（3）當αPA+αPB=α（α為定值）時，動弦AB所在直線若過定Q，則αPQ+αl=α，若有定向，則αAB+αl=α.

下面利用文［1］的結論以拋物線和橢圓為例進行證明，雙曲線中的證明類似.

1.朱其錄，申后坤.圓錐曲線動弦的一個性質.數學通報，2002，11.