淺談2011年高考題中出現(xiàn)的數(shù)形結(jié)合

☉浙江省諸暨市湄池中學(xué) 毛淑萍

數(shù)形結(jié)合思想是一種很重要的數(shù)學(xué)思想.數(shù)學(xué)研究的對象是數(shù)量關(guān)系和空間形式，即數(shù)與形兩個方面，把數(shù)量關(guān)系的研究轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的研究，或者把圖形性質(zhì)的研究轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的研究，這種解決問題過程中“數(shù)”與“形”相互轉(zhuǎn)化的研究策略，就是數(shù)形結(jié)合的思想.數(shù)形結(jié)合思想就是要使抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，使抽象思維與形象思維結(jié)合起來.在使用的過程中，由“形”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)化，往往比較明顯，而由“數(shù)”到“形”的轉(zhuǎn)化卻需要轉(zhuǎn)化的意識，因此，數(shù)形結(jié)合思想的使用往往偏重于由“數(shù)”到“形”的轉(zhuǎn)化.在一維空間，實數(shù)與數(shù)軸上的點建立一一對應(yīng)關(guān)系；在二維空間，實數(shù)對與坐標(biāo)平面上的點建立一一對應(yīng)關(guān)系.特別是集合、函數(shù)、不等式、數(shù)列、向量、解析幾何、導(dǎo)數(shù)與積分等能夠用圖形表述的知識點，就要用數(shù)形結(jié)合形象化，高考在選擇題、填空題側(cè)重考查數(shù)到形的轉(zhuǎn)化，在解答題中，考慮推理論證的嚴(yán)密性，突出形到數(shù)的轉(zhuǎn)化.下面談?wù)剶?shù)形結(jié)合思想在2011年高考中的體現(xiàn).

一、利用函數(shù)的圖像解答問題

例1（陜西理）函數(shù)f（x）=-cosx在［0,+∞）內(nèi)（ ）.

A.沒有零點 B.有且僅有一個零點

C.有且僅有兩個零點 D.有無窮多個零點

分析：利用數(shù)形結(jié)合法進(jìn)行直觀判斷，或根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)（值域、單調(diào)性等）進(jìn)行判斷.

解： 令f（x）=-cosx=0，則.設(shè)函數(shù)y=cosx，它們在［0,+∞）上的圖像如圖1所示，顯然兩函數(shù)的圖像的交點有且只有一個，所以函數(shù)f（x）=在［0,+∞）內(nèi)有且僅有一個零點.應(yīng)選B.

二、利用導(dǎo)數(shù)研究圖像

例2（浙江文）設(shè)函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a、b、c∈R），若x=-1為函數(shù)f（x）ex的一個極值點，則下列圖像不可能為y=f（x）的圖像的是（ ）.

解析：設(shè)F（x）=f（x）ex，則F′（x）=exf′（x）+exf（x）=ex（2ax+b+ax2+bx+c）.

由x=-1為f（x）ex的一個極值點，得F′（-1）=e-1（-a+c）=0，即a=c.Δ=b2-4ac=b2-4a2.

當(dāng)Δ=0時，b=±2a，即對稱軸所在直線方程為x=±1；

三、利用不等式表示的平面區(qū)域解答問題

例3 （陜西文）如圖3，點（x,y）在四邊形ABCD內(nèi)部和邊界上運動，那么2x-y的最小值為________.

分析：本題為線性規(guī)劃問題，采用數(shù)形結(jié)合法解答.解答本題的關(guān)鍵是確定目標(biāo)函數(shù)過哪一個點時取得最小值.

解：目標(biāo)函數(shù)z=2x-y，當(dāng)x=0時，z=-y，所以當(dāng)y取得最大值時，z的值最小；移動直線2x-y=0，當(dāng)直線移動到過點A時，y最大，即z的值最小，此時z=2×1-1=1.

四、解析幾何問題常常數(shù)形結(jié)合

例4 （湖北理）將兩個頂點在拋物線y2=2px（p＞0）上，另一個頂點是此拋物線焦點的正三角形的個數(shù)記為n，則（ ）.

A.n=0 B.n=1 C.n=2 D.n≥3

解析：根據(jù)拋物線的對稱性，正三角形的兩個頂點一定關(guān)于x軸對稱，且過焦點的兩條直線傾斜角分別為30°和150°，這時過焦點的直線與拋物線最多只有兩個交點，如圖4,正三角形的個數(shù)記為n，n=2，所以選C.

五、數(shù)形結(jié)合在平面向量中的應(yīng)用也是頻頻出現(xiàn)

當(dāng)然，2011年高考中的數(shù)形結(jié)合問題還有很多，幾乎遍及各個知識點，限于篇幅，不再一一舉例了.