流程圖（程序框圖）高考題型例解

☉湖北省水果湖高級(jí)中學(xué) 伍先軍 趙 宇

在所有實(shí)施新課改的省份的高考數(shù)學(xué)試題中，都不約而同地出現(xiàn)了流程圖（程序框圖）.

圖1是2011年全國(guó)新課標(biāo)高考數(shù)學(xué)試題中的第5題：

執(zhí)行圖1所示的程序框圖，如果輸入的N是6，那么輸出的p是（ ）

A.120

B.720

C.1 440

D.5 040

編制流程圖（程序框圖）是利用計(jì)算機(jī)編程解決問題的關(guān)鍵性的一步.流程圖就是用來描述解決問題的操作步驟的.它由功能圖標(biāo)和流程線組成.流程圖的功能圖標(biāo)有4種：圓角矩形、平行四邊形、矩形、菱形，分別表示不同的功能.流程線的一端帶有箭頭，表示程序運(yùn)行的走向（見圖2）.

解流程圖（程序框圖）題，不外乎有兩種基本的解法：

①機(jī)械模擬，②模塊歸納.

所謂“機(jī)械模擬”，是指我們按照流程線的走向，一步一步地忠實(shí)地模擬計(jì)算機(jī)操作，得到最終結(jié)果.一般適用于數(shù)據(jù)規(guī)模較小、功能單一的程序.

所謂“模塊歸納”，是指我們把一個(gè)較大的復(fù)雜的程序，劃分為一個(gè)或多個(gè)功能相對(duì)獨(dú)立的較小的子模塊，分析每個(gè)子模塊的入口數(shù)據(jù)、出口數(shù)據(jù)，以及這個(gè)子模塊對(duì)入口數(shù)據(jù)進(jìn)行了怎樣的操作從而得到出口數(shù)據(jù)的，這樣，我們就歸納得出：這個(gè)子模塊的實(shí)質(zhì)，就是一個(gè)從輸入數(shù)據(jù)到輸出數(shù)據(jù)的映射關(guān)系，即函數(shù)，可抽象地記為：

輸出變量（或中間變量）=f（輸入變量1，輸入變量2，…，輸入變量n）.

圖2

表1

若干個(gè)小的子模塊再組成一個(gè)大的功能模塊，最終，我們就能掌握整個(gè)程序的總體功能，再用數(shù)學(xué)的方式解決，寫出程序運(yùn)行結(jié)果.對(duì)于一些功能較復(fù)雜、數(shù)據(jù)規(guī)模較大的大中型程序，這種“模塊歸納”的方式是比較合適的.進(jìn)行模塊歸納時(shí)，要特別注意某些變量的初值和終值（統(tǒng)稱為端點(diǎn)）對(duì)輸出變量（或中間變量）的影響，在歸納得出函數(shù)關(guān)系后，要返回到流程圖中去進(jìn)行端點(diǎn)校驗(yàn).

解高考流程圖題的根本方法：

【簡(jiǎn)單題】只需機(jī)械模擬即可.

【稍難題】先機(jī)械模擬理清算法實(shí)質(zhì)，再模塊歸納得出函數(shù)關(guān)系（或不等式），最后端點(diǎn)校驗(yàn)以確保正確.

【變式題】在掌握機(jī)械模擬和模塊歸納兩種方法后隨機(jī)應(yīng)變.

解流程圖題四十字口訣（原創(chuàng)）：

鉛筆作指針，箭頭永向前.

表格當(dāng)內(nèi)存，舊值換新顏.

決策看條件，循環(huán)是關(guān)鍵.

輸入和輸出，函數(shù)來相連.

下面以2011年全國(guó)新課標(biāo)高考數(shù)學(xué)試題第5題為例說明.

從流程圖（見本文開頭）的“開始”圖標(biāo)開始，順著流程線走，從現(xiàn)在開始，我就變成一臺(tái)計(jì)算機(jī)了！我用左手拿一支鉛筆，筆尖指向當(dāng)前即將執(zhí)行的語句（相當(dāng)于語句指針），右手拿一支筆，在表格中即時(shí)記錄、修改變量的值.

左手鉛筆指向“輸入N”，現(xiàn)在我遇到了一個(gè)字母N，N是什么？N就是一個(gè)變量，我先在草稿紙上畫一個(gè)表格，在表頭寫上變量的名字N（見表1），當(dāng)做計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)空間中的一個(gè)存儲(chǔ)單元，現(xiàn)在輸入N的值是6，在N的下面寫上6.

下一句：左手鉛筆指向語句“k=1，p=1”，這本是兩句，合在一起寫了.現(xiàn)在遇到了兩個(gè)新的變量k和p，把這兩個(gè)變量的名稱也寫入到表格的表頭中，現(xiàn)在本語句執(zhí)行后它們的值都為1了，在它們的名稱下都寫下1.

繼續(xù)！左手鉛筆指向語句p=p·k.這是賦值語句，其中的“=”稱為賦值號(hào)，完全不同于數(shù)學(xué)中的等號(hào)，它表示將“=”右邊的表達(dá)式（可以是一個(gè)常量數(shù)據(jù)，或者是一個(gè)變量，也可以是一個(gè)表達(dá)式，本句是表達(dá)式p·k）的值（計(jì)算后），賦給“=”左邊的變量.因此，“=”左邊只能是變量，不能是常量或表達(dá)式.

那么，計(jì)算機(jī)是如何執(zhí)行p=p·k的呢？先計(jì)算“=”右邊的算術(shù)表達(dá)式p·k的值：從存儲(chǔ)空間中讀取變量p的當(dāng)前值為1（讀取操作不改變變量的值），讀取變量k的當(dāng)前值為1，在CPU（中央處理器）中計(jì)算1·1，結(jié)果為1，再將結(jié)果1寫入（賦給）“=”左邊的變量p所在的存儲(chǔ)空間，現(xiàn)在p的值被改為1了（即使它原來的值就是1，計(jì)算機(jī)仍會(huì)執(zhí)行寫入操作，寫入操作會(huì)改變變量的值）.此時(shí)，劃掉此前的值1，寫上新值1.

繼續(xù)！左手鉛筆指向決策圖標(biāo)：判斷k＜N是否成立，計(jì)算機(jī)讀取變量k的當(dāng)前值為1，變量N的當(dāng)前值為6，計(jì)算關(guān)系表達(dá)式1＜6的值，顯然1＜6是成立的，計(jì)算的結(jié)果是真（用“是”、“真”或“True”等表示），程序此時(shí)轉(zhuǎn)向“是”分支，執(zhí)行k=k+1（左手鉛筆指向此句）.同樣，這也是一條賦值語句，先計(jì)算k+1的值：讀取k的當(dāng)前值為1，在CPU中計(jì)算1+1，結(jié)果為2，再將結(jié)果2寫入到變量k，故k的值改為2了（劃掉此前的值1）.

繼續(xù)！再次執(zhí)行p=p·k，讀取p的值為1，k的值為2，計(jì)算1·2，得2，將結(jié)果2賦給（寫入）變量p，即p的值改為2了（劃掉此前的值1）.

繼續(xù)！判斷k＜N是否成立，計(jì)算機(jī)讀取變量k的值為2，變量N的值為6，計(jì)算關(guān)系表達(dá)式2＜6，顯然2＜6是成立的，計(jì)算的結(jié)果是真，程序繼續(xù)執(zhí)行“是”分支，執(zhí)行k=k+1，先計(jì)算k+1的值：讀取k的值為2，2+1得3，寫入到變量k，故k的值改為3了（劃掉此前的值2）.

如此繼續(xù)執(zhí)行，你會(huì)發(fā)現(xiàn)：賦值語句p=p·k，條件判斷k＜N，賦值語句k=k+1，這3條語句被反復(fù)執(zhí)行了多次，這種結(jié)構(gòu)，在流程圖中構(gòu)成了“環(huán)形”，在計(jì)算機(jī)語言中稱為“循環(huán)結(jié)構(gòu)”.顯然，這種循環(huán)結(jié)構(gòu)必須要有結(jié)束退出的時(shí)候，否則，計(jì)算機(jī)就會(huì)陷入“死循環(huán)”，這是程序設(shè)計(jì)者必須注意的.

你可以不厭其煩地一步一步地模擬計(jì)算機(jī)執(zhí)行下去，直到k=N，此時(shí)k＜N不成立了，就轉(zhuǎn)向“否”分支，輸出p的值為720.

那么，怎樣提高解題效率呢？換言之，如果本題輸入的N的值更大，你能較快地得出答案嗎？

關(guān)鍵在于流程圖中的“環(huán)形結(jié)構(gòu)”，也就是循環(huán)結(jié)構(gòu).在循環(huán)結(jié)構(gòu)中往往有兩種功能的語句：“關(guān)鍵運(yùn)算”和“條件控制”.所謂“關(guān)鍵運(yùn)算”是指輸出變量（本例為p）參與的運(yùn)算，本例即p=p·k.所謂“條件控制”是指循環(huán)條件（本例即k＜N）中的變量（本例為k）參與的運(yùn)算，本例即k=k+1.通過這兩種功能的語句，你可以得出這段循環(huán)語句的功能就是連乘（注意變量p的初值必須為1，變量p常稱為累乘器），乘數(shù)從k=1到k=N，每次增加1（這里的變量k常稱為計(jì)數(shù)器），然后觀察循環(huán)之前計(jì)數(shù)器的初值和循環(huán)結(jié)束時(shí)計(jì)數(shù)器的終值，重點(diǎn)分析計(jì)數(shù)器的初值和終值是否參與了關(guān)鍵運(yùn)算（端點(diǎn)校驗(yàn)），最后得出結(jié)論：這段程序計(jì)算的是p=1*2*…*N（即N的階乘N！），現(xiàn)在無論輸入的N值是多少，你都可以迅速地用數(shù)學(xué)的方法計(jì)算結(jié)果了.這就是前述的“模塊歸納”.