淺析高考集合熱點

☉河南省鞏義二中東校區(qū) 王 婧

集合是高中數(shù)學中最基本的概念，亦是歷年高考必考的知識點之一，常考查集合的基本概念和運算及集合語言和集合思想的應(yīng)用，考題多為較容易的選擇題、填空題.盤點2011年高考試卷中有關(guān)集合的問題，認真分析研究，發(fā)現(xiàn)考查熱點體現(xiàn)在下列六個方面.

一、基本型

這類題型主要考查集合的基本概念和基本運算，常用解法是定義法、列舉法、性質(zhì)法、韋恩圖法及語言轉(zhuǎn)化法等.

例1（安徽卷）集合U={1，2，3，4，5，6}，S={1，4，5}，T={2，3，4}，則于（ ）.

A.{1，4，5，6} B.{1，5}

C.{4} D.{1，2，3，4，5}

解：U={1，2，3，4，5，6}，S={1，4，5}，T{2，3，4}，

評注：本題主要考查集合的交、補運算，因為題設(shè)給出的集合是具體的，可采用觀察法得到相應(yīng)的計算結(jié)果，也可利用韋恩圖輔助求得答案.

二、交匯型

這類題型主要是將集合與不等式、三角函數(shù)、解析幾何、簡易邏輯等知識進行交匯，形成多知識點的綜合問題，解題的關(guān)鍵在于靈活運用有關(guān)知識.

例2 （湖南卷）設(shè)M={1，2}，N={a2}，則“a=1”是“N?M”的（ ）.

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件

解：當a=1時，N={1}，滿足N?M.

反之，若N?M，則N={a2}={1}或N={a2}={2}，不一定有a=1.

故“a=1”是“N?M”的充分不必要條件.故選A.

評注：本題主要考查集合之間的關(guān)系，采用充要條件等基礎(chǔ)知識，考查學生分析問題和解決問題的能力，屬于創(chuàng)新題型.

三、計數(shù)型

這類題型是指以集合為背景，求子集的個數(shù)、集合中元素的個數(shù)等.常用解法是子集的個數(shù)公式法、圖表法、組合數(shù)公式法等.

例3（廣東卷）已知集合A={（x，y）|x、y為實數(shù)，且x2+y2=1}，B={（x，y）|x、y為實數(shù)，且y=x}，則A∩B的元素個數(shù)為（）.

A.0 B.1 C.2 D.3

解：集合A={（x，y）|x、y為實數(shù)，且x2+y2=1}表示圓x2+y2=1上所有點組成的集合，B={（x，y）|x、y為實數(shù)，且y=x}表示直線y=x上所有點組成的集合.

故A∩B中有兩個元素.故選C.

評注：本題考查集合的表示及集合的基本運算.解題時要注意集合A與集合B中的元素均為點（x，y），A∩B的元素個數(shù)即為圓與直線的交點個數(shù).

四、逆向型

逆向型是指已知集合的運算結(jié)果，寫出集合運算的可能表達式，這類問題往往具有一定的開放性.

A.（-∞，-1］B.［1，+∞）

C.［－1，1］D.（-∞，-1］∪［1，+∞）

解：由P∪M=P，得M?P，即a∈P，則a2≤1，故-1≤a≤1.故選C.

評注：本題主要考查集合的運算、簡單的二次不等式的解法.

五、判斷型

此類問題是判斷兩個或兩個以上集合之間的關(guān)系.要正確判斷兩個集合間的關(guān)系，必須對集合的相關(guān)概念有深刻的理解，善于抓住代表元素，認清集合的特征，準確地進行轉(zhuǎn)化，通過觀察元素的構(gòu)成結(jié)構(gòu)，借助圖形關(guān)系尋求集合間的關(guān)系，使問題直觀準確地得到解決，因此，要重視數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想的運用.

例5 （江西卷）若全集U={1，2，3，4，5，6}，M={2，3}，N={1，4}，則集合{5，6}等于（ ）.

解：由U={1，2，3，4，5，6}，M={2，3}，N={1，4}，得M∪N={1，2，

六、閱讀理解型

以集合內(nèi)容為背景，即時設(shè)計一個陌生的問題情景，要求學生在理解的基礎(chǔ)上作答.

例6（福建卷）在整數(shù)集Z中，被5除所得余數(shù)為k的所有整數(shù)組成一個“類”，記為［k］，即［k］={5n+k|n∈Z}，k=0、1、2、3、4.給出如下四個結(jié)論：

①2011∈［1］；②-3∈［3］；③Z=［0］∪［1］∪［2］∪［3］∪［4］；④“整數(shù)a、b屬于同一‘類’”的充要條件是“a-b∈［0］”.

其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（ ）.

A.1 B.2 C.3 D.4

解：2011=402×5+1，［1］={5n+1|n∈Z}，則2011∈［1］，故命題①正確.

-3=5×（-1）+2，則-3∈［2］，故命題②不正確.

因為所有整數(shù)Z除以5可得余數(shù)的結(jié)果為：0、1、2、3、4，故命題③正確.

若a-b屬于同一類，則有a=5n1+k，b=5n2+k，a-b=5（n1-n2）∈［0］；反之，若a-b∈［0］，也可以得到a-b屬于同一類.

有三個命題成立.故選C.

評注：本題是一道比較典型的新定義題，根據(jù)給出的定義綜合考查了元素與集合之間的關(guān)系、集合間的基本運算，同時考查對充要條件的理解.