圓錐曲線統(tǒng)一定義的解題功能

☉湖南省永州市第二中學(xué) 鄧艮平

圓錐曲線是平面解析幾何的重要曲線，其性質(zhì)是歷年高考考查的重點(diǎn).本文舉例說明圓錐曲線的統(tǒng)一定義的解題功能，供同學(xué)們參考.

例2 （2010年全國(guó)I卷理科21題的推廣）已知圓錐曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)為F，與F相對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線交F所在軸于點(diǎn)K，過K的直線l與C交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于焦點(diǎn)所在軸的對(duì)稱點(diǎn)為D，則點(diǎn)F在直線BD上.

證明：（1） 當(dāng)A、B位于同弧時(shí)，如圖2所示，設(shè)BD與焦點(diǎn)所在軸交于點(diǎn)F′（不同于點(diǎn)F）.由題意知點(diǎn)K為準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，過B、D分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足為M、N.因?yàn)辄c(diǎn)A關(guān)于焦點(diǎn)所在軸的對(duì)稱點(diǎn)為D，所以∠BKF=∠DKF.

綜合（1）（2）知，點(diǎn)F在直線BD上.

例3 過圓錐曲線的一個(gè)焦點(diǎn)F作一條同弧弦AB，過B作BC平行于焦點(diǎn)所在的軸，交相應(yīng)準(zhǔn)線l于點(diǎn)C，l與焦點(diǎn)所在的軸交于點(diǎn)E，則直線AC經(jīng)過線段EF的中點(diǎn).

EM∥AD.

故直線AC經(jīng)過線段EF的中點(diǎn).