數(shù)形結(jié)合思想熱點(diǎn)應(yīng)用舉例

☉河南省汝州市第一高級(jí)中學(xué) 王二品

所謂數(shù)形結(jié)合思想，簡(jiǎn)而言之就是代數(shù)問題幾何化、幾何問題代數(shù)化，充分利用圖形的直觀性和代數(shù)推理的合理性、嚴(yán)密性研究問題.數(shù)與形是數(shù)學(xué)研究的兩個(gè)重要方面，在研究過程中，數(shù)形結(jié)合既是一種重要的數(shù)學(xué)思想，又是一種常用的數(shù)學(xué)方法.數(shù)形結(jié)合是歷屆高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn).數(shù)形結(jié)合包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面，其中“以形助數(shù)”是其主要方面，其方法的關(guān)鍵是根據(jù)題設(shè)條件和探求目標(biāo)，聯(lián)想或構(gòu)造出一個(gè)恰當(dāng)?shù)膱D形，利用圖形探求解題途徑.對(duì)于填空題可以簡(jiǎn)捷地直接獲得問題的結(jié)果，對(duì)于解答題要重視數(shù)形轉(zhuǎn)換的等價(jià)性論述，避免利用圖形的直觀性代替邏輯推理得到結(jié)果.“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”，利用數(shù)形結(jié)合的思想方法可以深刻揭示數(shù)學(xué)問題的本質(zhì).函數(shù)的圖像、方程表示的曲線、集合中的韋恩圖或數(shù)軸表示等，是“以形示數(shù)”，而解析幾何中的方程、斜率、距離公式、向量的坐標(biāo)表示等則是“以數(shù)助形”，還有導(dǎo)數(shù)更是數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物，這些都為我們提供了“數(shù)形結(jié)合”的知識(shí)平臺(tái).下面舉例說明數(shù)形結(jié)合思想的熱點(diǎn)應(yīng)用.

一、在集合中的應(yīng)用

二、數(shù)形結(jié)合在函數(shù)中的應(yīng)用

函數(shù)的圖像是函數(shù)關(guān)系的一種表示，它是從“形”的方面刻畫函數(shù)的變化規(guī)律.函數(shù)圖像形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究數(shù)量關(guān)系問題提供了“形”的直觀性，它是探究解題途徑、獲得問題結(jié)果的重要工具.函數(shù)圖像和解析式是函數(shù)關(guān)系的主要表現(xiàn)形式，實(shí)質(zhì)是相同的，在解題時(shí)經(jīng)常要互相轉(zhuǎn)化，尤其是在處理較為煩瑣的問題時(shí)，要充分發(fā)揮圖像的直觀作用.

三、數(shù)形結(jié)合在向量中的應(yīng)用

向量作為數(shù)學(xué)的一個(gè)基本概念，成了溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的工具.由于既有代數(shù)表示，也有幾何表示，成為了數(shù)形結(jié)合的重要載體.

四、數(shù)形結(jié)合在解析幾何中的應(yīng)用

解析幾何主要研究的是圖形的特征以及圖像間的位置關(guān)系.初中是直接運(yùn)用定理進(jìn)行證明研究，高中則是通過建立直角坐標(biāo)系，用點(diǎn)的坐標(biāo)和曲線的方程，通過代數(shù)方法來計(jì)算圖形的特征和位置關(guān)系等問題，其本質(zhì)原因是高中階段對(duì)幾何問題的研究牽涉具體的長(zhǎng)度、角度、面積等，故需要用代數(shù)方法來研究幾何問題.

例4 （2011年江西）若曲線C1：x2+y2-2x=0與曲線C2：y（ymx-m）=0有四個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）.