例談一元二次函數(shù)的取值問題

☉浙江省杭州師范大學附屬中學 謝黎靜

一元二次函數(shù)是初中教材中的重點內容，但難度要求不高，到高中進行了深化，在學習中我們發(fā)現(xiàn)不光它的內容應用廣泛而且它滲透了一些很重要的數(shù)學思想方法（如數(shù)形結合、分類討論等），而其中最能體現(xiàn)一元二次函數(shù)上述特點的是：解決一元二次函數(shù)在區(qū)間上的取值問題.此知識的考查在高考中很常見.一元二次函數(shù)在區(qū)間上的取值問題可以通過對稱軸和區(qū)間是否含有參數(shù)細分成四種類型，下面筆者通過一些例題來加以說明.

一、對稱軸和區(qū)間都不含參數(shù)的類型

例1求函數(shù)（fx）=x2－2x+2在區(qū)間［0，1］上的最小值.

分析：此函數(shù)的對稱軸為x=1，結合圖像可知函數(shù)在區(qū)間［0，1］上單調遞減，則函數(shù)的最小值為f（1）=1.

二、對稱軸不含參數(shù)、區(qū)間含參數(shù)的類型

例2函數(shù)f（x）=x2－2x+2在區(qū)間［t，t+1］上的最小值為2，求t的值.

分析：區(qū)間位置會隨著t變化，而函數(shù)的對稱軸位置和函數(shù)圖像開口方向都確定，結合函數(shù)圖像此題應按對稱軸在區(qū)間的左側、中間、右側三種情況進行討論.

解：函數(shù)的對稱軸為x=1.

當對稱軸在區(qū)間左側，即t＞1時，函數(shù)在區(qū)間［t，t+1］上單調遞增，即fmin（x）=f（t）=t2－2t+2=2，則t=0（舍去）或t=2.

當對稱軸在區(qū)間內，即0≤t≤1時，函數(shù)的最小值在頂點處取得，即fmin（x）=f（1）.又f（1）≠2，則0≤t≤1舍去.

當對稱軸在區(qū)間右側，即t＜0時，函數(shù)在區(qū)間［t，t+1］上單調遞減，即fmin（x）=f（t+1）=t2+1=2，t=1（舍去）或t=－1.

綜上：t=2或t=-1.

例3函數(shù)f（x）=x2－2x+2在區(qū)間［t,t+1］上的最大值記為h（t），求h（t）的最小值.

分析：區(qū)間位置會隨著t變化，而函數(shù)的對稱軸位置和函數(shù)圖像開口方向都確定，結合函數(shù)圖像此題應按對稱軸在區(qū)間的左側、中間、右側三種情況進行討論.當然又由函數(shù)對稱性可知，函數(shù)圖像開口向上，對稱軸在區(qū)間中間時，區(qū)間端點離對稱軸的距離大小影響最大值取到的可能性.

解：函數(shù)的對稱軸為x=1.

當對稱軸在區(qū)間左側，即t＞1時，函數(shù)在區(qū)間［t，t+1］上單調遞增，即h（t）=f（t+1）=t2+1.

當對稱軸在區(qū)間右側，即t＜0時，函數(shù)在區(qū)間［t，t+1］上單調遞減，即h（t）=f（t）=t2－2t+2.

當然對于開口向下的一元二次函數(shù)求最小值的分類討論也與上例類似.

三、對稱軸含參數(shù)、區(qū)間不含參數(shù)的類型

例4函數(shù)f（x）=x2－2tx+2在區(qū)間［0,1］上的最大值為2，求t.

分析：此函數(shù)對稱軸為x=t，位置不確定，區(qū)間位置和函數(shù)圖像開口方向確定，結合函數(shù)圖像此題應按對稱軸在區(qū)間的左側、中間、右側三種情況進行討論，當然又由函數(shù)對稱性可知，函數(shù)圖像開口向上，對稱軸在區(qū)間中間時，區(qū)間端點離對稱軸的距離大小影響最大值取到的可能性.

解：此二次函數(shù)的對稱軸為x=t.

當對稱軸在區(qū)間右側，即t＞1時，函數(shù)在區(qū)間［0,1］上單調遞減，即2=fmax（x）=f（0），而f（0）=2恒成立，則t＞1.

四、對稱軸和區(qū)間都含參數(shù)的類型

例5已知函數(shù)f（x）=t＞0），求函數(shù)f（x）的最小值.

分析：此函數(shù)中含有絕對值，要求最值，先需對絕對值進行討論，再求相應的最值.

總之，事實上，通過對稱軸和區(qū)間是否含有參數(shù)的分類，任何一個一元二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題都可以歸類到以上某種類型，而以上每種類型中最值問題的求解都離不開對函數(shù)圖像開口方向和對稱軸與區(qū)間相對位置的把握，并運用數(shù)形結合和分類討論的思想方法.