運用特殊化與一般化探究一道高考題

☉江蘇省東臺市安豐中學 金小進

一、探究的起因

（1）略.

（2）若|OG|2=|OD|·|OE|，①求證：直線l過定點；②略.

簡析：不難計算，不論斜率k為何值，直線l恒過定點（-1，0），現改變直線x=-3或橢圓方程，直線l是否還過定點？如果是，所過定點與直線x=-3和橢圓方程有何關聯？帶著這個疑問，我們進行以下探索.

二、特殊化歸納

題中要求直線l的斜率k＞0，事實上，如果把該條件放寬，考慮特殊情況：直線l垂直于x軸.這即定點，正好也符合原題的結論.如果橢圓方程為=1，直線方程為x=m，那么D（m，0），G（a，0），E），又考慮到直線方程x=m與點E）的內在聯系，于是把直線方程處理為，則其對應點E（m，0），這樣就對應著橢圓a=1的“類準線”與“類焦點”的問題，于是我們大膽猜想：

三、一般化探索

證明：設E（p，q），

①充分性：因直線l過F（m，n），

故q=n.

②必要性：由|OG|2=|OD|·|OE|，

故q=±n.

因OE為 射線，所以yE與yD的符號相同.

q與n同號，q=n，所以直線l過F（m，n）.

另設A（x1，y1），B（x2，y2），

①充分性：因直線l過點F（m，n），

又因E、G、D三點共線，所以|OD|·|OE|=|OG|2.

由OE為射線可知xD與xE同號，

故直線l過極點F.

至此，運用特殊化的手段，發現了高考題的背景：類準線與類焦點；通過一般化的手段得到更深層次的背景：極線與極點.進一步地，還可以推廣到雙曲線與拋物線中去.

結論4 拋物線C：y2=2px，極點F（m，n）對應著極線：nyp（x+m）=0，不過原點的直線l交拋物線C與A、B兩點，弦AB的中點為E，射線OE交拋物線C于G點，交極線ny－p（x+m）=0于D點，則|OG|2=|OD|·|OE|的充要條件是直線l過極點F.

四、再特殊化分析

結論7 拋物線C：y2=2px，其極點F（m，n）對應著的極線l1：ny－p（x+m）=0，不過原點的直線l交拋物線C與A、B兩點，弦AB的中點為極點F，射線OF交拋物線C于G點，點G處的切線為l2，則l∥l1∥l2.

我國著名數學家華羅庚教授曾說，復雜的問題要善于“退”，足夠地“退”，“退”到最原始而又不失重要性的地方，是學習好數學的一個訣竅.運用特殊化找出結論成立的簡單情形正是華先生所講的“退”，由此獲得的啟示又將為探究問題的一般性提供某種對比，從而就有可能運用一般化的手段發現問題的背景，揭示問題的本質.