導數在不等式中的應用

☉山東省萊蕪第一中學 王 強 申玉芹

一、應用導數證明不等式

1.應用導數得出函數的單調性，并證明不等式.

我們從導數學習中知道，在某個區間內，若函數的導數的函數值大于0，其在這個區間內單調遞增；若小于0，其在這個區間內單調遞減.因此，在進行不等式的證明時，就需要考慮到不等式的自身特點，例如構造函數，就能夠通過導數來將函數的單調性證明出來，然后再通過對單調性的利用進行不等式的證明.也就是用函數的單調性證明來替代不等式的證明，而在形式上，具體有如下兩種.

（1）直接構造函數，之后再通過導數的有效應用將函數的單調性證明出來，再運用在同一單調區間內的函數，其自變量越大的時候，函數值越大或者是越小，就能夠將不等式證明出來.

f（x）在（0，+∞）上為減函數，所以x>0時，f（x）

（2）把不等式變形后再構造函數，然后利用導數證明該函數的單調性，從而達到證明不等式的目的.

例2設f（x）=x2+bln（x+1），b≠0.證明對任意的正整數n，不等式都成立.

證明：當b=-1時，f（x）=x2-ln（x+1）.

令h（x）=x3-x2+ln（x+1）.，則h′（x）>0在（0，+∞）上恒成立.

h

（x）在（0，+∞）上單調遞增，則h（x）>h（0）=0.

即x>0時，有x3-x2+ln（x+1）>0.

所以ln（x+1）>x2-x3.

2.利用導數求出函數的最值后，再證明不等式.

除此之外，導數還具備求函數最值的功能.在證明不等式成立的時候，可以將不等式的證明轉變成為求函數的最值.

例3 求證：n∈N*，n≥3時，2n>2n+1.

證明：要證明原式，只需證2n-2n-1>0成立.

設f（x）=2x-2x-1（x≥3）.f′（x）=2xln2－2.

由x≥3，得f′（x）≥23ln2－2>0.

所以f（x）在［3，+∞）上為增函數.

所以f（x）的最小值為f（3）=1>0.

所以n≥3時，f（n）≥f（3）>0.

即n≥3時，2n-2n-1>0成立.

即n∈N*，n≥3時，不等式2n>2n+1成立.

二、應用導數解決不等式的恒成立問題

在解決不等式的恒成立問題時，對于參數取值范圍會有所涉及，一般是把變量分離之后，將其轉換成m>f（x）（m

例4已知f（x）=ax4lnx+bx4-c（c>0）在x=1處取得極值-3-c，其中a、b、c為常數.

（1）試確定a、b的值；

（2）討論f（x）的單調區間；

（3）若對任意的x>0，不等式f（x）≥-2c2恒成立，求c.

分析：（1）a=12，b=-3.過程略.

（2）f（x）的單調遞增區間為（1，+∞），單調遞減區間為（0,1）.過程略.

（3）由（2）知f（x）在x=1處取得極小值f（1）=-3-c，這個極小值也就是最小值.要使f（x）≥-2c2恒成立，只需-3-c≥-2c2即可.

1.魏紅艷.不等式“恒成立”占據半壁江山.民營科技，2010（06）.

3.廖冬梅.深入研究教材例析導數的應用［J］.新課程（教研），2010（05）.