一道數列競賽題的另解

☉湖北省漢川一中 陳 春

題目 已知數列{an}滿足：a1=2t－3（t∈R，且t≠±1），

（1）求數列{an}的通項公式；

（2）若t>0，試比較an+1與an的大小.

這是2011年全國高中數學聯合競賽試卷（A卷）第10題，該題綜合性較強，思維量較大，能力層次要求高，區分度較好.通過研究，筆者發現這道題還有別于參考答案的新思路、新解法，呈現出來和大家一起分享.

①當n=1時，a1=2t－3，命題成立；

點評：遞推數列題型的考查，對學生靈活運用數學知識分析問題和解決問題的能力要求較高，而利用數學歸納法可以在一定程度上降低數列問題證明的難度，學生操作起來也比較容易，因此數學歸納法是證明與正整數n有關命題的一個重要方法.

令f（t）=（2nt－2n－2）tn+2=2n·tn+1－（2n+2）tn+2（t>0），求導可得：

f′（t）=2n·（n+1）·tn－（2n+2）·n·tn－1=（2n2+2n）·tn－1·（t－1）.當01時，f′（t）>0.所以f（t）在（0，1）內單調遞減，在（1，+∞）內單調遞增，即f（t）min=f（1）=0，故對t>0且t≠1，有f（t）恒大于零，因此an+1－an>0，即得an+1>an.

再令g（x）=tx·（xlnt－1）+1，則g′（x）=tx·lnt·（xlnt－1）+tx·lnt=tx·ln2t·x.因為x>0，故g′（x）>0，所以g（x）在（0，+∞）上遞增.又g（x）在x=0處連續，g（0）=0，故對x>0，g（x）>0，所以f′（x）>0，即f（x）在（0，+∞）上遞增，所以數列{an}為遞增數列，即an+1>an.

點評：數列是一類定義在正整數集{1，2，3，…，n}或它的有限子集上的特殊函數，數列問題常常蘊含著函數的本質和特征.解法1先作差，再構造函數，并利用導數判定函數的單調性，從而得到數列的單調性；解法2直接根據數列通項公式構造函數，然后通過分析函數的單調性來得到數列的單調性.

數列作為離散函數的典型代表之一，在學習中應重視函數思想的滲透，充分利用函數的有關知識，以它的概念、圖像和性質為紐帶，架起函數與數列間的橋梁.通過數列與函數知識間的相互融合，使知識網絡得以不斷優化和完善，同時也會使我們的思維能力得以不斷發展與提高.