居高臨下 化繁為易：高中數學教學滲透高等數學的思想方法的探索

☉浙江省臺州金清中學 梁建遠

一、問題的提出

高考《考試說明》指出：“數學學科考試，要發揮數學作為基礎學科的作用，既考查中學數學的知識和方法，又考查考生進入高校繼續學習的潛能.”以高等數學中著名定理、經典的思想方法為背景，把中學數學的知識巧妙地用高等數學中的符號，形式加以敘述，成為當前高考的一道亮麗的風景線.這些試題拓展了知識領域，開闊了數學視野，考查了考生的學習潛能，有利于中學數學與高等數學和諧接軌.

首先，高中數學教學如果能夠讓學生掌握一些高等數學的基礎知識，則可以適應數學發展和學生可持續發展的需要，而高等數學的思想方法在開闊學生視野、指導高中數學解題等方面的作用就尤為突出了.比如：連續函數在閉區間［a，b］上一定有最大值、最小值.用原有的高中數學知識在解決高次函數時，就會顯得捉襟見肘，力不從心，但是利用導數的知識和方法，就顯得得心應手，從容不迫.再如，數集和點集（平面的和空間的）是集合的特例.在高一講述“集合”之后，在代數、立體幾何和其他數學內容的教學中，可以而且應當普遍使用集合符號，逐步使數學語言規范化.如立體幾何中，點在線上（A∈a）；線在面內（a?α）；平面α與平面β相交與直線a即α∩β=a.

其次，對于高中數學中某些不易交待清楚的問題，要了解其在數學史上產生和解決的過程，弄清楚它們在高等數學里的背景.例如，為什么把“0”作為第一個自然數？自然數與有理數、實數相比較，孰多孰少？實數為什么可以和數軸一一對應？這些對于中學生未必要搞清的問題，數學教師則必須弄清楚其中道理.這就要求我們利用數學史和高等數學知識，對這些問題予以說明.當學生提出這些疑問時，能夠清楚地給以科學的回答.

再次，用高等數學思想方法，指導高中數學問題的解決.例如，根據同構觀點，利用“關系映射反演原則”對數學問題進行等價變換和求解.利用邏輯真假值表來檢驗命題證明過程的正確性.利用向量代數方法證明平面和立體幾何題.利用射影變換、仿射變換方法對某些幾何題尋求證明思路等.

最后，在高中數學教學中，應該適當地對高中數學與高等數學的銜接處進行研究，用高等數學的思想方法指導中學數學教學是必要的.筆者對此進行研究，以期拋磚引玉.

二、高中數學教學滲透高等數學思想方法舉隅

1.例析微積分方法的應用.

微積分是研究函數的微分、積分以及有關概念和應用的數學分支.微積分是建立在實數、函數和極限的基礎上的.微積分它是一種數學思想，“無限細分”就是微分，“無限求和”就是積分.無限就是極限，極限的思想是微積分的基礎，它是用一種運動的思想看待問題.比如，子彈飛出槍膛的瞬間速度就是微分的概念，子彈每個瞬間所飛行的路程之和就是積分的概念.如果將整個數學比作一棵大樹，那么初等數學是樹的根，名目繁多的數學分支是樹枝，而樹干的主要部分就是微積分.我們可以利用導數求函數的極大（小）值，求函數在連續區間［a，b］上的最大（小）值，或利用求導法解決一些實際應用問題是函數內容的繼續與延伸，這種解決問題的方法使復雜問題變得簡單化，因而已逐漸成為高考的又一熱點.

例1（2006年江蘇卷）請您設計一個帳篷.它下部的形狀是高為lm的正六棱柱，上部的形狀是側棱長為3m的正六棱錐（如圖1）.試問當帳篷的頂點O到底面中心O1的距離為多少時，帳篷的體積最大？

解：設OO1為xm，則1

當10，即V（x）在（1，2）上為增函數；

當2

從中可看出：帳篷的體積函數是一個二次函數，如果用除導數之外的其他方法，就會非常困難.應用導數這一工具，則顯得非常容易，還突破了分類討論的難點.當然，我們還可以用微積分的方法求函數的單調區間、求曲邊圖形的面積，在數列求和中的應用導數.再如求解變速直線運動的位移是物理學上的一個難題，如果用純物理的方法就很難解決，但是我們用積分的方法，就簡單得多了.

2.例析極限思想方法的應用.

新教材中“雙曲線的幾何性質”學習，可以由學生自主動手探究：用幾何畫板畫雙曲線，在位于第一象限的曲線上畫一點M，測量點M的橫坐標xM以及它到直線的距離d，沿曲線向右上角拖動點M，觀察xM與d的大小關系，你發現了什么？

學生通過操作，直觀感受，在右上角拖動點M時，xM（無限）增大，d逐漸減小，（無限）趨向于零.也即雙曲線在第一象限與直線隨著x的（無限）增大而無限接近，但永不M相交.仿照上面的作法，我們就可以得到雙曲線在其他三個象限與直線的接近情況.這樣雙曲線的圖像就更加規范、準確并且迅速，同時為解題提供了方便，也使我們利用有限的圖形了解到無限.我們可以利用極限的方法求雙曲線的漸近線方程.

3.例析向量在函數、幾何上的應用.

由于向量融數、形于一體，是溝通數與形的重要橋梁，因而向量在解析幾何中有著廣泛的應用，為解決解析問題開辟了一條嶄新的途徑.向量法的優點在于思路清晰、方法獨特.因此通常在向量與解析幾何知識的交匯處設計試題，已逐漸形成的高考命題的一個新的亮點，平面向量與解析幾何的結合通常涉及到兩直線夾角、平行、垂直等問題的處理，目標是將幾何問題坐標化、符號化、數量化，從而將推理轉化為運算.

同樣，用向量知識解證立體幾何問題，常常比用幾何法簡便，其優點在于向量可以使立體幾何問題代數化，簡單的代數運算取代了復雜的幾何證明，解題的方向明確，可避免作輔助線及運用繁重的定理、公理等進行推理的思維過程，在立體幾何中求空間面，空間距離及處理垂直面關系顯得尤為方便.利用向量法解證立體幾何問題的基本思想方法是：將有關的線段與相應的向量相聯系起來，并用已知量表示未知量，再通過向量的運算進行計算或證明，從而達到解決問題的目的.

三、用高等數學的思想方法指導中學數學教學應注意的問題

1.教師要不斷提高自身的數學素養.

教師要不斷加強對數學史和數學方法論的學習與研究，積極參與數學的教改探索與實踐，提高學術水平、教學水平和數學方法論的素養.比如我們以“中值定理”為背景研究中學數學中的不等式

分析：（本題的證法較多，這里主談的是如何利用導數來證明）教材用運動變化的觀點將曲線C的割線PQ的極限位置所在的直線定義為C在點P（x0，f（x0））處的切線.由這個定義出發，我們可以發現，若函數y=f（x）在其定義域內連續且可導，則其圖像上任意兩點P（x1，y1），Q（x2，y2）連線的斜率取值范圍，就是曲線上任一點切線的斜率（如果存在）的范圍，利用這個結論，解決上述問題.

我們從這個例題中可以看出以高等數學知識為背景，利用中學數學知識解決問題.所以，如果我們能利用高等數學的知識背景思考就不難發現中學數學知識內容，試題的選編可以從高等數學中找到影子.

2.教師要抓準知識與思想方法的結合點.

課中要深入鉆研教材和參閱有關參考材料，要善于從具體的數學知識中挖掘和提煉出數學思想方法，要預先把全書，每單元章節所蘊含的數學思想方法及它們之間的聯系搞明確具體，然后統籌安排，有目的、有計劃和有要求地進行數學思想方法的教學.

3.根據教學內容的類型和特點，探索高等數學思想方法滲透教學的途徑.

數學思想方法蘊含在數學知識的產生、內涵和發展之中，故一般都可采用以分析解決問題為主線的啟發式和發展式的教學方法，具體來說，要注意引導學生抓住：⑴展示或分析過程，如概念的形成過程、定理與法則的發現過程、公式的推導過程、證明思路和解決問題方法的探索過程等；⑵揭示本質，指揭示概念、定理、公式或方法的本質.例如極限方法實質是一種以運動的、相互聯系和量變引起質變的辯證觀點去分析和解決問題的數學方法；⑶找關聯，指要搞清相近概念和定理之間的聯系與區別；⑷評論與提出問題，指通過對重要的概念、定理或解法等進行一分為二的評論，從而提出有待進一步研究的新問題.比如在展現概念等知識發生過程中要滲透數學思想方法，在講解定理、公式證明或推導思維教學活動過程中要揭示數學思想方法，而在應用和問題解決的探索過程中則要激活數學思想方法.此外，要充分用數學思想這個銳利的武器去突出講透重點、突破化解難點、分清疑點和提出改進局限點.

4.認真上好緒論課和復習小結課.

緒論課和復習小結課是進行數學思想方法教學的良好陣地，比如緒論課一般都要講述知識產生的背景，發展簡史，研究對象、基本和主要的問題、研究的思想方法和與其它各章知識的聯系等.據此，教師可抓準時機在緒論中直接簡介有關的數學思想方法，而在復習課中則可順勢總結概括本章用到的數學思想方法.故教師應充分備好和講好各章的緒論與復習課.掌握數學思想方法必須有一個反復認識、訓練和運用過程.為此，在每章節的課外練習以及期中與期末考試中都應有一定數量的數學思想方法題目.此外，還要指導學生做好各章或單元的小結，閱讀有關數學思想方法的參考書或舉辦專題報告會.

總之，高中數學的內容，是常量數學和變量數學的初步知識，是高等數學的基礎，是高等數學中許多概念和理論的原型和特例所在.因此，用高等數學的思想方法指導高中數學教學，就要把高等數學中的某些概念和理論與高中數學里相應的原型和特例聯系起來.這樣不僅能夠加深對高等數學的理解，而且能使我們準確把握高中數學的本質和關鍵，從而高屋建瓴地處理數學教材，化繁為易，提高教學質量和教學水平，拓寬學生的解題思路，切實提高學生的解題能力.

1.劉宏武.新課程的教學方法選擇.浙江大學出版社，2001.

3.胡炳生，吳俊.現代數學觀點下的中學數學.中學教研（數學），2007（7）.