對一道武漢市調研考試題的研究

☉湖北省陽新縣白沙中學 董才強

對一道武漢市調研考試題的研究

☉湖北省陽新縣白沙中學 董才強

著名的數學教育家G.波利亞說過：“沒有任何一道題是可以解決得十全十美的，總剩下些工作要做，經過充分的探討總結，總會有點滴的發現，總能改進這個解答，而且在任何情況下，我們總能提高自己對這個解答的理解水平.”事實上，許多貌似平凡的問題其實意境幽深，均可成為曲徑通幽處.只要我們做一個敏銳的探索者，就會發現散落于其中的晶瑩的數學珍珠.如2011年5月份湖北省武漢市九年級數學調研考試題：

如圖1，⊙O是△ABC的外接圓，AE是⊙O的直徑，AD是△ABC中BC邊上的高，EF⊥BC，垂足為F.

（1）求證：BF=CD；

（2）若CD=1，AD=3，BD=6，求⊙O的直徑.

圖1

一、整合思路，探求解法

本題融幾何證明、計算于一體，題型較為常見，但是對學生而言有一定的難度，主要難在第（1）問，不少學生甚至無從下手.究其原因，可能是初中學生對線段相等的證明習慣于依賴三角形的全等，思路和方法狹窄單一.其實證明兩條線段相等的方法有好多種，常用的方法是運用“等角對等邊”或三角形的全等，當這兩個思路行不通時，不妨尋找相似三角形，再借助比例線段的轉化，這樣也能夠證明兩條線段相等；在圓中還可以通過弦、弧、角（圓心角或圓周角）的相互轉化來證明線段相等.如果學生對這些思想方法能夠熟練靈活運用，解答此題就輕松自如了.

（1）證法1：構造全等三角形.

如圖2，延長EF交⊙O于點G，連接BG.

由AE是⊙O的直徑，得∠ABC+∠CBE=90°.

由EF⊥BC，得∠BEG+∠CBE=90

圖2

所以AC=BG. ①

所以∠C=∠GBF. ②

由AD是△ABC中BC邊上的高，EF⊥BC，得∠ADC=∠GFB=90°. ③

根據①、②、③，可得△ADC≌△GFB.

所以BF=CD.

評注：不少學生誤認為△ADC≌△EFB，在這種錯覺思維的影響下，為尋找這兩個三角形全等的條件而絞盡腦汁，最終無功而返，證明失敗.

證法2：應用平行線分線段成比例定理.

如圖3，作OH⊥BC，垂足為H，則BH=CH.

由AD⊥BC，EF⊥BC，得EF∥OH∥AD.

又OA=OE，則HD=HF.

所以BH－HF=CH－HD，即BF=CD.

評注：“過圓心作弦的垂線段”是圓中一條重要的輔助線，解題時學生可能會想到這一點，但是由于對平行線分線段成比例定理的變式圖形不熟悉（像圖3這樣的平行線分線段成比例的變式圖形，課本上沒有，有些教師也未向學生提及），即使作出了圖3中的輔助線，學生還是不知道如何下手.

證法3：應用相似三角形.

如圖1，由AE是⊙O的直徑，AD是△ABC中BC邊上的高，

圖3

評注：有些學生在沒有找到全等三角形后，馬上轉向尋找相似三角形，少數學生證出了結論.遺憾的是，部分學生被眾多的比例線段套牢，不能尋找有效的線段比去進行溝通和轉化，導致思路和方法正確而證明失敗.

（2）如圖1，根據題意可知△ACD和△ABD都是直角三角形.

評注：第（2）問比第（1）問簡單許多，部分學生懂得“跳步作答”，即越過第（1）問直接解答第（2）問，做到了“能得分處莫丟分”.

二、深入挖掘，提煉結論

這道試題的第（2）問雖然“其貌不揚”，但內涵豐富，其間蘊含有三角形的一個美妙性質.如果覺得此問平淡無奇而“來也匆匆，去也匆匆”，一個重要的結論恐怕就“藏在深閨無人識”了.

概括這道調考題第（2）問的結構特征，我們不難提煉出定理1.

定理1 三角形的任意兩邊之積等于第三邊上的高乘以外接圓直徑.

為不失一般性，這里再以鈍角三角形為例予以證明.

如圖4，⊙O是△ABC的外接圓，AE是⊙O的直徑，AD是△ABC中BC邊上的高，求證：AB·AC=AD·AE.

證明：連接BE.由AE是⊙O的直徑，AD是△ABC中BC邊上的高，得∠ABE=∠ADC=90°.

由A、C、B、E四點都在⊙O上，得∠ACD=∠AEB.

圖4

三、聯想化歸，靈活應用

圖5

例1（2010年黃石中考）如圖5，△ABC內接于⊙O，AH⊥BC于H，若AB+AC=12，AH=3，則⊙O的半徑R的最大值為______.

例2 如圖6，P為⊙O上一點，⊙O的弦AB切⊙P于C，若⊙O和⊙P的半徑分別為5和2，求PA·PB的值.

簡解：連接PC，則PC⊥AB，即PC是△PAB中AB邊上的高.根據定理1可得PA·PB=2R·PC，其中2R就是△PAB的外接圓（即⊙O）的直徑.由題意可知R=5，PC=2，所以PA·PB=10×2=20.

例3 在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，求△ABC的外接圓的半徑.

圖6

四、由此及彼，更上層樓

在解答完例3后，心理似乎還不滿足：如果給出的是一個任意三角形的三條邊長，怎樣求其外接圓的半徑呢？通過對定理1的再思考，得到定理2.

一道普通平凡的試題，孕育著不平凡的方法和結論，給人帶來更為深入廣泛的思考.通過這個探究過程，大大拓寬了我們的知識視野（得到任意三角形的外接圓半徑公式），這是在源源不斷的思考和探索中得到的珍寶.

一滴水可以折射出太陽的光輝，一道題能夠散發出智慧的光芒，解題并不在于多多益善，不斷總結、反思我們的解題思路和方法，提煉、升華問題中的本質屬性，對擴大教師的數學視野、提高教師的專業素養大有裨益.