經典綻放 魅力飛揚——中考試題再利用的教學價值

☉河南省鄭州市第三中學 于紅蓮

經典綻放 魅力飛揚
——中考試題再利用的教學價值

☉河南省鄭州市第三中學 于紅蓮

中考試題不僅具有考試選拔甄別功能，而且還具有很好的教學功能，其中有不少經典試題可供教學引用和拓展，它是所有試題材料中的精品，是命題專家們智慧的結晶，它對初中數學教學具有一定的方向性和指引性．如何將經典考題滲透到課堂教學中，真正發揮出它潛在的教學價值，最大限度地提升課堂效率，是我們廣大教師值得深思的問題．下面以一道中考試題為例，談談自己如何運用中考試題進行初三復習沖刺，供大家參考．

中考試題（2010年齊齊哈爾市）

如圖1所示，已知△ABC和△DCE均是等邊三角形，點B、C、E在同一條直線上，AE與BD交于點O，AE與CD交于點G，AC與BD交于點F，連接OC、FG，有下列結論：①AE=BD；②AG=BF；③FG∥BE；④∠BOC=∠EOC，其中正確結論的個數為（ ）．

A.1 B.2 C.3 D.4

圖1

圖2

一、觀察考題，回歸習題，溫故而知新

出示中考試題后，讓同學們不要急著下筆，而是仔細觀察圖形，引導學生回顧從前有無見過類似的課本習題，板書課本習題．

課本習題（滬科版八年級數學上冊P132頁第11題）

如圖2，已知點C為線段AB上一點，△ACM和△CBN都是等邊三角形，AN交CM于點E，BM交CN于點F，求證：

（1）CE=CF；

（2）EF∥AB．

（1）這是一道非常典型的習題．類似的題目，除在人教版、滬科版和華師大版等多種版本的教科書中出現過，還常常出現在一些課外閱讀書籍上．首先讓大家完成這個習題．由于之前大家都已經做過這個題目，稍加復習就完成了習題的分析與證明．

分析：易證△ACN≌△MCB，AN=BM，∠ENC=∠FBC（全等三角形的對應邊、角相等），同時CN=CB，∠ECN=∠FCB=60°，所以△CNE≌△CBF，即CE=CF，，且EF∥AB．由此也可進一步說明習題和考題中的△CEF和△CFG均為等邊三角形．

（2）再由習題回歸至中考試題，不難發現題中結論①和③已經成立．即習題中AN=BM對應考題中①AE=BD；EF∥AB對應③FG∥BE．結合考題結論②AG=BF，對照習題就是圖2中MF=AE，進一步深化習題可知：因為△ACN≌△MCB，得AN=BM，△CNE≌△CBF，得NE=BF，所以MF=AE，即考題中的結論②AG=BF也正確．

（3）觀察考題結論④，說明∠BOC=∠EOC是本考題的難點．比較圖1和圖2，發現考題圖形是習題圖形基礎上的再擴充（只是增加了線段CO），也恰好說明部分中考試題就是源于課本又高于課本的．

分析：因為CG=CF，AG=BF，AC=BC，所以△ACG≌△BCF，即∠BFC=∠AGC，所以C、F、O、G四點共圓，因此∠EOC=∠GFC=60°，∠BOC=∠FGC=60°，所以∠BOC=∠EOC，即上述中考試題中四個結論都是正確的，故選D答案．

二、聯想考題，發散延伸，舉一反三

有些考題或習題，當題中的某些元素發生變化時，其中的某些結論往往保持不變，有的還會進一步引申出一些新的結論．這樣，通過對數學習題的不斷發散和延伸，就可以讓學生舉一反三，從而提升數學的解題水平．

變式1：若圖2中C點在線段AB外，△ACM和△BCN都是等邊三角形，則仍有AN=BM（如圖3）．（此題同滬科版八年級上第11頁復習題5）

分析：在△ACN和△MCB中，因為MC=AC，∠MCB=∠ACN，CB=CN，所以△ACN≌△MCB（SAS），即AN=BM．

繼續觀察中考題，如將幾何圖形做進一步的拓展與創新，即將向形外做等邊三角形改作其他的特殊圖形，那么又會有怎樣的結果呢？通過對題中幾何圖形的不斷演變，從而達到深化考題，拓展創新，觸類而旁通的教學目的．

變式2：將圖3中的△ACM和△BCN改作為正方形ACME和正方形BCND（如圖4），則仍有AN=BM．

圖3

圖4

分析：此題證明方法類同前，在此就不再贅述了．

變式3：如圖5，將圖4中的△ACB改為直角三角形，則有Rt△ACB斜邊上的高線必平分線段MN（或Rt△ACB斜邊上的中線必垂直于線段MN）．

分析：首先易知：△MCN≌△ACB，所以∠GMC=∠FAC．又∠GCM+∠ACF=90°，∠ACF+∠CAF=90°，所以∠GCM=∠FAC=∠GMC，即GM=GC．同理可證GN=GC．所以GM=GN．類似地可以證出△ACB斜邊上的中線必垂直于線段MN．

圖5

圖6

變式4：在圖4中，分別以AC和AB為邊，向△ABC外作正五邊形（如圖6），則仍有AN=BM．

此題的證明方法同變式1，具體分析略．

變式5：如圖7，CA、CM是以CA為邊向△ABC外作的正n邊形的一組鄰邊，CB、CN是以CB為邊向△ABC外作的正n邊形的一組鄰邊，則仍有AN=BM．

證明略．

圖7

三、類比考題，由此及彼，融會而貫通

縱觀各地的中考試題，有的試題不謀而合，仔細分析，總是存在許多共性．這進一步說明經典試題歷來深受廣大命題專家的關注和青睞，也為我們中考復習提供了很好的借鑒作用．

中考試題（南平市）

（1）如圖8（1）、（2）、（3），在△ABC中，分別以AB、AC為邊，向△ABC外作正三角形、正四邊形、正五邊形，BE、CD相交于點O．

①如圖8（1），求證：△ABE≌△ADC.

②探究：如圖8（1），∠BOC=________°；如圖8（2），∠BOC=________°；如圖8（3），∠BOC=________°．

（2）如圖8（4），已知AB、AD是以AB為邊向△ABC外所作的正n邊形的一組鄰邊，AC、AE是以AC為邊向△ABC外所作正n邊形的一組鄰邊，BE、CD的延長線相交于點O．

①猜想：如圖8（4），∠BOC=________°（用含n的式子表示）；

②根據圖8（4）證明你的猜想．

圖8

中考試題的命制是嚴肅而科學的，是經命題專家組反復論證過的，選擇它為復習所用，可無后顧之憂．特別是近幾年中考試卷中出現的新型試題，展示了不同的思考策略和解題方法．認真研究這些中考試題，既可對教師的教學起到很好的導向作用，又能有利于學生把學到的知識構成網絡、形成系統，為學生中考提供強有力的保障．