怎樣解二次函數圖像信息題

☉江蘇省寶應縣實驗初級中學 汪國銀

怎樣解二次函數圖像信息題

☉江蘇省寶應縣實驗初級中學 汪國銀

二次函數是各地中考試題的熱點內容，二次函數的圖像是二次函數的重要內容，其中根據圖像信息解答相關問題不僅是考查同學們的觀察能力，同時也需要同學們對二次函數問題要有一定的處理能力．下面為同學們舉例說明.

一、排除法

例1 函數y=ax+b和y=ax2+bx+c在同一直角坐標系內的圖像大致是圖1中的（ ）.

圖1

解：在A中，從直線來看，a＜0.從拋物線來看，a＞0，兩者矛盾，故排除A.

在B中，從直線來看，a＞0，b＞0.從拋物線來看，a＞0，＞0，所以b＜0.兩者矛盾，故排除B.在C中，從直線來看，a＞0，b＜0.從拋物線來看，a＞0，＞0，所以b＜0，沒有矛盾.

在D中，從直線來看，a＞0，b＞0.從拋物線來看，a＜0，c＞0，兩者矛盾，故排除D.

綜上所述故選C.

評注：本題主要考查二次函數與一次函數的圖像及性質，一次函數中a＞0時圖像必經過一、三象限，a＜0時圖像必經過二、四象限；b＞0時與y軸的交點在x軸的上方，b＜0時與y軸的交點在x軸的下方.二次函數中a＞0時開口向上，a＜0時開口向下；ab＞0時，對稱軸在y軸左側，ab＜0時，對稱軸在y軸右側.解答選擇題時，有時用排除法能達到事半功倍的效果.

第四種跡象：多角度、深層次的語言研究。日益強大的信息和人工智能時代，迫使藝術家向機器無法達到的境地探索，進一步將材料語言推向極致。與此同時，物質背后所承載的豐富的文化線索和全新的材料試驗讓這一方向生機勃勃。

例2 在同一直角坐標系中，函數y=mx+m和y=－mx2+2x+2（m是常數，且m≠0）的圖像可能是圖2中的（ ）.

圖2

解析：本例將二次函數與一次函數的圖像放在同一直角坐標系中，加大了知識的考查力度.我們先根據圖像來分析：

（1）如果m＞0，則由一次函數y=mx+m的性質，可知其圖像上升，且與y軸的交點在x軸上方，很明顯，只有C滿足，但對二次函數y=－mx2+2x+2而言，當m＞0時，其開口方向應向下，顯然不合，所以C不可能.

（2）如果m＜0，則由一次函數y=mx+m的性質，可知其圖像下降，且與y軸的交點在x軸下方，這些A、B和D都滿足，但對二次函數y=－mx2+2x+2而言，當m＜0時，其開口方向應向上，所以A不可能.

只有D滿足條件，故應選D.

點評：本題和例1不同，m的位置不同，同時在一次函數和二次函數中出現，我們就要根據圖像找出它們的信息，只有完全符合m三個位置的要求的值，才是題目的答案.

二、圖像分析法

圖3

例3 已知二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像如圖3所示，則下列結論：①ac＞0；②方程ax2+bx+c=0的兩根之和大于0；③y隨x的增大而增大；④a－b+c＜0，其中正確的個數（ ）.

A.4個 B.3個 C.2個 D.1個

分析：由圖像知有a＜0，c＞0，所以ac＞0成立，由于對稱軸在y軸的右側，所以＞0，又a＜0，所以b＞0，所以方程ax2+bx+c=0的兩根之和大于0不一定成立，y隨x的增大而增大也不成立，由圖像可知當x=1時，y＜0，即a－b+c＜0正確，故選C.

解：由以上分析應選C.

點評：考查了二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）與a、b、c的關系、二次函數的圖像.考查了同學們的數形結合能力和創新應用能力.

圖4

A.M＞0 B.M＜0

C.M=0 D.M的符號不能確定

解析：解決本例的基本思想仍然是數形結合.由拋物線在坐標系中的位置，確定其系數及其代數式的符號.

（1）由圖像可知，當x=－2時，其對應點在x軸的上方，即y＞0，則4a－2b+c＞0；

（2）由圖像可知，當x=1時，其對應點在x軸的下方，即y＜0，從而a+b+c＜0；

因為a＜0，2a－b＜0，所以M＜0，故應選B.

圖5

三、特殊值判斷法

例5 已知=次函數y=ax+bx+c的圖像如圖5.則下列5個代數式：ac，a+b+c，4a－2b+c，2a+b，2a－b中，其值大于0的個數為（ ）.

A.2 B.3 C.4 D.5

分析：由二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像可以判斷a＜0，b＞0，c＜0，故ac＞0，a+b+c=0，4a－2b+c＜0，2a－b＜0.

解：由對稱軸和特殊值1及以上分析知選A.

評注：本題主要考查二次函數的圖像和性質，在解決此類問題時要綜合利用拋物線的圖像和特殊值來解題．

四、綜合判斷法

例6 小明從圖6所示的二次函數y=ax2+bx+c的圖像中，觀察得出了下面五條信息：①c＜0；②abc＞0；③a－b+c＞0；④2a－3b=0；⑤c－4b＞0，你認為其中正確信息的個數有（ ）.

A.2個 B.3個 C.4個 D.5個

分析：先用圖像分析法，再用特殊值判斷，最后再用排除法即可解決.

解：由圖像與y軸交點在x軸下方，所以c＜0，①正確；又開口向上，所以a＞0，又＞0，所以b＜0，故abc＞0，②也正確；當x=－1時，y＞0，即a－b+c＞0，③亦成立；又因為x=，即=，所以3b=－2a，即2a+3b=0，所以④不正確；同理⑤也正確；所以共有四個結論是正確的，故選C.

圖6

評注：本題綜合了以上幾種方法來解決問題的，它考查了同學們的綜合分析問題的能力以及從圖像中獲取信息的能力．

綜上所述，在解決二次函數圖像信息題目時，我們只要抓住a、b、c與圖像的開口方向、對稱軸的位置、在y軸上的截距的關系，并結合題目中其他條件，就能準確求解.