對一道中考試題的再思考

☉江蘇省鹽城中學 孫開華

對一道中考試題的再思考

☉江蘇省鹽城中學 孫開華

二次函數(shù)的圖像是軸對稱圖形，圖像上的點除頂點在對稱軸上以外，其他的對稱點都是成對出現(xiàn)的，這樣的一對點和頂點形成的三角形，這里姑且稱之為頂點三角形，利用函數(shù)的對稱性，很容易得到它是等腰三角形，并且等腰三角形的頂點就是二次函數(shù)圖像的頂點.因為它的特殊性，所以成了中考命題者的偏愛和側重的重點，那么頂點三角形有哪些規(guī)律呢？下面由一道中考題談起.

參考以上定理和結論，解答下列問題：

設二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a＞0）的圖像與x軸的兩個交點為A（x1，0）、B（x2，0），拋物線的頂點為C，顯然△ABC為等腰三角形.

（1）當△ABC為直角三角形時，求b2－4ac的值.

（2）當△ABC為等邊三角形時，求b2－4ac的值.

解：（1）如圖1.當△ABC為直角三角形時，過C作CE⊥AB于E，則AB=2CE.

本題考查了等腰直角三角形、等邊三角形的性質，考查了拋物線與x軸的交點及根與系數(shù)的關系定理.結合本題求解過程，可以拓展探究出如下幾條結論.

命題1：設二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像頂點為C，與x軸交點為A、B，△ABC中，∠CAB=∠CBA=α，Δ=b2-4ac（Δ＞0），那么Δ=4tan2α.

圖1

推論1：二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像頂點為C，與x軸交點為A、B，則△ABC為等邊三角形的充要條件是Δ=b2-4ac=12.

推論2：二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像頂點為A，與x軸交點為B、C，那么△ABC為直角三角形的充要條件是Δ=b2-4ac=4.

推論3：二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像頂點為C，與x軸交點為A、B，△ABC中，∠CAB=∠CBA=α，α=30°的充要條件是Δ=b2-4ac=證明略.

如果二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像與x軸交點及頂點構不成特殊的等腰直角三角形或等邊三角形，或者二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像與x軸根本就沒有交點，情況又如何呢？

證明：如圖2，過點C作CD⊥AB，交AB于點D.

圖2

在Rt△ADC中，∠CAD=α，∠CDA=90°，

推論1：二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像頂點為C，過點P（0，n）作y軸的垂線交該拋物線于點A和點B，△ABC中，∠CAB=∠CBA=α，則△ABC為等邊三角形的充要條件是Δ′=b2-4ac+4an=Δ+4an=12.

推論2：二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像頂點為C，過點P（0，n）作y軸的垂線交該拋物線于點A和點B，△ABC中，∠CAB=∠CBA=α，則△ABC為直角三角形的充要條件是Δ′=b2-4ac+4an=Δ+4an=4.

至此，我們已完全弄清楚了二次函數(shù)中的頂點三角形的特殊性與二次函數(shù)的系數(shù)a、b、c、Δ及角α之間的關系，這種特殊的關系給研究函數(shù)的性質帶來許多方便.具體應用這里沒有展開闡述，讀者不妨用上述結論求解下列問題：2012年江西、2012年陜西、2012年貴陽等中考題里面涉及的頂點三角形以及近年來初中數(shù)學競賽題，容易感覺到規(guī)律給問題解決帶來了便利，節(jié)約了時間，淡化了問題的復雜性.

往屆中考數(shù)學試題是一座值得深入挖掘的數(shù)學金礦，其中蘊涵著豐富并極具教育價值的數(shù)學問題，有不少中考數(shù)學試題已經(jīng)進入現(xiàn)行數(shù)學教材，成為初中生學習數(shù)學的經(jīng)典材料.正如我的老師所言：“處處留心皆學問，平時留意用數(shù)學眼光觀察，就能編出許多數(shù)學問題.”

新的課程改革把教學定位在人的發(fā)展上，著重要培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、思考問題、解決問題的能力，因此自主探索成為學生學習數(shù)學的重要方式.在平時的教學中，如果教者能夠堅持這樣引領學生探索和發(fā)現(xiàn)規(guī)律，或者通過這樣的滲透去培養(yǎng)學生的思維能力，那么數(shù)學學習就變成了學生的主體性、能動性的提升過程，符合了新課程的理念.