高中數學背景 初中數學解法——對一道中考數學壓軸題的探析

☉江蘇省連云港外國語學校 吳 昊

高中數學背景 初中數學解法
——對一道中考數學壓軸題的探析

☉江蘇省連云港外國語學校 吳 昊

2011年黃岡市中考數學壓軸題是一道以高中數學知識為背景的創新題，該題貌似平凡實則立意高遠，突出考查了學生對數學思想方法的理解和掌握程度、數學思考的深度和廣度、自主探索能力與創新意識，對學生的思維能力、理解能力、分析問題和解決問題的能力都提出了比較高的要求.下面讓我們一起來“親密接觸”這道試題.

圖1

一、試題回放

例1（2011年黃岡市中考壓軸題）如圖1所示，過點F（0，1）的直線y=kx+b與拋物線y=x2交于M（x1，y1）和N（x2，y2）兩點（其中x1＜0，x2＞0）.

（1）求b的值；

（2）求x1x2的值；

（3）分別過M、N作直線l∶y=－1的垂線，垂足分別是M1和N1，判斷△M1FN1的形狀，并證明你的結論；

（4）對于過點F的任意直線MN，是否存在一條定直線m，使m與以MN為直徑的圓相切？如果有，請求出這條直線m的解析式；如果沒有，請說明理由.

二、初中數學解法

本題的四個問題層層遞進，體現了中考壓軸題“入手容易深入難，得分容易滿分難”的特點.第（1）問很簡單；第（2）問考查函數與方程（組）之間的化歸與轉化，應用一元二次方程的根與系數的關系容易解決；第（3）問考查直角三角形的判定以及數形結合思想，考生可運用勾股定理的逆定理或相似三角形思考作答；第（4）問較難，可運用由特殊到一般的策略來求解：先令MN∥x軸，這時以MN為直徑的圓剛好與直線l∶y=－1相切，于是猜想所求得的定直線m很有可能就是直線l∶y=－1，剩下的事情就是證明線段MN的中點到直線l的距離等于MN的一半.

解 ：（1）b=1.

（3）△M1FN1是直角三角形，理由如下.

設M1N1交y軸于點F1，顯然△M1F1F和△N1F1F都是直角三角形.

所以直線y=－1與以MN為直徑的圓相切.

三、高中數學背景

這道形式平凡的試題有著深刻的高中數學知識背景：由高中數學知識，可知圖1中的點F（0，1）和直線y=－1分別是拋物線y=x2的焦點和準線，根據拋物線的定義，可知拋物線y=x2上任意一點到點F（0，1）的距離等于該點到直線y=－1的距離，在例1第（4）問的解答中，我們創造性地應用了拋物線的這個幾何性質，很明顯，這樣的解法是為了迎合初中學生的智力和水平.

實際上，拋物線焦點弦的性質層出不窮，變化多端，如果把焦點弦比作一棵參天大樹，那么它的基本性質就像是這棵常青樹上盛開的“五朵金花”．

第一朵金花：定值金花

第二朵金花：垂直金花

定理2 拋物線的焦點弦的兩個端點在準線上的射影和焦點的連線互相垂直．

這個定理的證法較多，如類似于例1第（3）問的解法可證，這里再給出一個簡單直觀的幾何證法.

第三朵金花：兩個圓金花

定理3 以拋物線的焦點弦為直徑的圓必與此拋物線的準線相切．

定理3類似于例1第（4）問的解法可證，此處從略．

定理4 以拋物線的焦點弦在準線上的射影為直徑的圓必與焦點弦相切于焦點．

證明：如圖2，根據定理2，有∠M1FN1=90°，所以點F在以M1N1為直徑的圓上．作出以M1N1為直徑的圓，設圓心為O1，連接O1F，則O1F是Rt△M1FN1的斜邊上的中線，所以O1F=O1M1，則∠O1FM1=∠O1M1F.由拋物線的定義可知MF=MM1，所以∠MFM1=∠MM1F.于是∠O1FM=∠MM1F+∠O1M1F=90°，所以⊙O1與MN相切.

第四朵金花：平分金花

定理5 拋物線焦點弦的兩個端點與準線和對稱軸交點的連線所成的角被拋物線的對稱軸平分．

圖2

圖3

第五朵金花：共線金花

例2 如圖4，拋物線的焦點弦為MN，自M、N分別向準線l作垂線，垂足分別為M1、N1.

求證：（1）M、O、N1三點共線；

（2）N、O、M1三點共線．

圖4

同理可證N、O、M1三點共線．

例3 如圖4，拋物線的焦點弦為MN，分別延長MO、NO與準線l相交于點N1、M1．

求證：MM1∥NN1∥y軸.

同理可證點M1與點M的橫坐標相同.

所以MM1∥NN1∥y軸.

綜合例2和例3可以得到：

定理6 拋物線的焦點弦的一個端點和準線上一點的連線過拋物線頂點的充要條件是該弦的另一個端點和準線上這點的連線平行于拋物線的對稱軸.

四、考后反思

例1作為中考壓軸題，有一定的難度和區分度，命題專家選取高中數學中拋物線的焦點弦的性質進行改造，給予簡單化和具體化處理，命出此題，雖然是高中數學背景，卻是初中數學解法，既考查了學生的思維能力和數學素養，又考查了學生繼續學習數學的潛能，實現高中數學和初中數學的和諧接軌，讓人耳目一新．以高中數學為背景的命題已逐漸為中考命題專家所青睞，本文揭示其背景只是為了讓一線教師把問題看得更加透徹，而沒有必要把相關知識引入初中數學教學中，加重學生負擔．數學的基礎知識、基本技能和基本思想方法是根，教師要牢牢把根留住！