拋物線和雙曲線在初中階段的“另類”考法

☉浙江省寧波市東錢湖中學 郭 斌

在初中階段，對拋物線和雙曲線的考查一般不涉及它們的幾何性質的.但在近幾年的中考、競賽以及重點中學提前招生考試中出現了一些“另類”的考查方式：即以拋物線、雙曲線的初等幾何意義為背景，作適當的鋪墊后引出一些基本的幾何性質，然后利用此性質解決問題.這類題目背景豐富，與高中的解析幾何知識聯系緊密，起點比較高，又有一定的技巧性，是考查優秀學生的一類好題材.故不憚淺陋，把一些自己接觸過的以及自編的這類題目付于筆端，以拋磚引玉.

一、與拋物線幾何定義有關的題目

例1 已知拋物線y＝ax2＋bx＋c經過A（－4，3）、B（2，0）兩點，當x=3和x=－3時，這條拋物線上對應點的縱坐標相等.經過點C（0，－2）的直線l與x軸平行，O為坐標原點.

（1）求直線AB和這條拋物線的解析式.

（2）以A為圓心，AO為半徑的圓記為⊙A，判斷直線l與⊙A的位置關系，并說明理由.

（3）設直線AB上的點D的橫坐標為－1，P（m，n）是拋物線y＝ax2＋bx＋c上的動點，當△PDO的周長最小時，求四邊形CODP的面積.

這是2010年江蘇省南通市的中考壓軸題，第一小題是中考的常規考法，第二小題暗示了拋物線上任意一點到焦點和焦線的距離這個性質，O是焦點，l是焦線，經過這么一鋪墊只要利用這個性質就可解決第三小題.以此為背景的這類題目在各類考試中已不時出現，如2010年湖北黃岡市的中考壓軸題和2006年寧波市鄞州中學提前招生最后一題就是此類題目.

圖1圖2

（1）求證：MP=MF.

（2）C是x軸任意一點，過點C作直線交拋物線于點A、B，連接AF、BF、CF，求證：CF是△ABF的外角平分線.

（1）求證：MP=MF.

（2）連接MF并延長交拋物線于點N，試判斷以MN為直徑的圓與x軸的位置關系，并說明理由.

這兩道題目都以拋物線的幾何定義為出發點，用第一小題來證明感悟這個性質，然后在下一小題中來靈活應用.當然這兩題還包含拋物線的其他幾何意義，留有余味.如通過練習二我們可以得到拋物線的一個相對簡潔的切線作法.

二、與拋物線二階等差性有關的題目

先看兩個例子，例2是2003年上海市的競賽題，例3是2008年浙江省嘉興市的中考題.

例2 某學生為了描點作出y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的圖像，取自變量的7個值：x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，且x2－x1=x3－x2=x4－x3=x5－x4=x6－x5=x7－x6，分別算出對應的y值，如下表：

x x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 y 51 107 185 285 407 549 717

但由于粗心算錯了其中一個值，請指出哪一個算錯了，正確的是多少？并說明理由.

例3 如圖3，在8×8的正方形網格中，任意畫一條拋物線，問所畫的拋物線最多能經過81個格點中的多少個（ ）.

A.6 B.7 C.8 D.9

圖3 圖4

這兩個例子的背景是拋物線的二階等差性.即：在拋物線對稱軸的同側依次有若干個點在拋物線上，若每間隔兩點的橫坐標差相等，則間隔兩點的縱坐標（其實是到與主軸垂直的直線的距離）的差成等差數列.例2的表格已經很好地描述了這個性質，在一定程度上給了學生一個切入點，當學生帶入計算求解析式發現計算量過大時，會去考慮縱坐標的差，使猜想有一個立足點，是道不錯的題目.例3跨度大了一點，命題者把它出成選擇題以降低難度，實際上經過改編可以成為一道有一定難度又有梯度的好題.

練習三：已知A1，A2，A3，A4，A5，A6，…，An是拋物線y=ax2上的點，它們的橫坐標分別是1，2，3，4，5，6，…，n.

（1）用a的代數式表示y1，y2，y3，y4，y5的值.

（2）設Δyn-1=yn-yn-1，通過計算說明Δyn-1-Δyn-2（n≥3）有什么特點.

（3）當拋物線改成y=ax2+bx+c時，Δyn-1-Δyn-2（n≥3）有什么特點.

（4）在10×10的正方形網格中，任意畫對稱軸垂直于格線的一條拋物線，問所畫的拋物線最多能經過121個格點中的多少個，試簡要說明理由.

這個練習中，經過前面幾個小題的鋪墊后第四小題就可以借助拋物線的二階等差性來解決，不致過于突兀.

三、雙曲線中的另類題目

A.直線 B.拋物線 C.圓 D.雙曲線

圖5 圖6

本題是2007年浙江省慈溪中學提前招生試題，此題給出了雙曲線的第一幾何定義：雙曲線上任意一點到兩焦點的差的絕對值等于實軸的長度.以此為出發點結合條件中角平分線加垂線必會出現軸對稱三角形這個常見模型，就可解決問題.從另一方面看，這個題目還有“雙曲線關于焦點的垂足曲線是圓”這一背景，可見此題起點比較高，難度也頗大.從雙曲線的第一幾何定義出發，擬編一題.

（1）試證明：AB-AC=MN.

（2）作∠BAC的內角平分線AE，過B作AE的垂線交AE于F，連結OF，證明

（3）判斷以AC為直徑的圓和以MN為直徑的圓的位置關系，并說明理由.

雙曲線除了可以以第一定義為載體來考查，還可以“漸近線矩形”面積為定值來命題.如有一道高中的競賽題：如圖7，任意直線交雙曲線和它的漸近線于點A、B、C、D，則AB=CD.

圖7圖8

由于雙曲線在初中是一種特殊的雙曲線，即漸近線互相垂直的雙曲線，故可以把上面所謂的“截線”相等的結論移植到初中雙曲線中.故可編制以下習題：

某數學論壇曾推出過初中生看高考這個專題，筆者深受啟發：既然可以從高觀點的角度來看一些初等問題，也可以反過來以初等的眼光來解決高階段的問題.這也算是新瓶裝舊酒吧！