拋物線與特殊四邊形存在問題探求

☉江蘇省南通市通州區三余中學 朱維東

拋物線與四邊形作為代數和幾何中最重要的章節，歷來都是中考的必爭之地，其中拋物線與特殊四邊形存在探求問題更是將數形結合的數學思想體現得淋漓盡致，現將此類近年中考的常見題型加以歸類，剖析解法，供讀者參考.

一、拋物線與平行四邊形存在問題

例1 （2011年涼山州）如圖1，拋物線與x軸交于A（x1，0）、B（x2，0）兩點，且x1

（1）求拋物線的解析式；

（2）點D（4，k）在（1）中拋物線上，點E為拋物線上一動點，在x軸上是否存在點F，使以A、D、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形，如果存在，求出所有滿足條件的點F的坐標，若不存在，請說明理由.

圖1圖2

分析：（2）探究A、D、E、F為頂點的平行四邊形，此類題目最常見，要注意分類討論，分為AF為平行四邊形的邊和對角線兩種情況.

解：（1）因為x2-4x-12=0，

所以x1=-2，x2=6.

所以A（-2，0），B（6，0）.

又因為拋物線過點A、B、C，

故設拋物線的解析式為y=a（x+2）（x-6）.

所以當x=4時，k=-4，

所以點D的坐標是（4，-4）.

因為D（4，-4），所以E（0，-4），DE=4.

所以F1（-6，0），F2（2，0）.

如圖3，當AF為平行四邊形的對角線時，

圖3

所以E′的坐標為（n-6，4）.

二、拋物線與矩形存在問題

（1）請直接寫出拋物線c2的表達式.

（2）現將拋物線c1向左平移m個單位長度，平移后得的新拋物線的頂點為M，與x軸的交點從左到右依次為A，B；將拋物線c2向右也平移m個單位長度，平移后得到的新拋物線的頂點為N，與x軸交點從左到右依次為D，E.

在平移過程中，是否存在以點A，N，E，M為頂點的四邊形是矩形的情形？若存在，請求出此時m的值；若不存在，請說明理由.

圖4

分析：（2）在平移過程中，四邊形ANEM始終滿足對角線互相平分，首先肯定是平行四邊形.要使它為矩形，只需滿足對角線相等，即OM=OA.

（2）存在，平移后得到的新拋物線如圖5或如圖6所示

圖5圖6

即M，N關于原點O對稱，所以OM=ON.

因為A（-1-m，0），E（1+m，0），

所以A，E關于原點O對稱，所以OA=OE，

所以四邊形ANEM為平行四邊形.要使平行四邊形ANEM為矩形，只需滿足，所以m=1.

所以當m=1時，以點A，N，E，M為頂點的四邊形是矩形.

三、拋物線與菱形存在問題

圖7

（1）求直線AB的函數關系式；

（2）動點P在線段OC上從原點出發以每秒一個單位的速度向C移動，過點P作PN⊥x軸，交直線AB于點M，交拋物線于點N.設點P移動的時間為t秒，（不考慮點P與點O，點C重合的情況），連接CM，BN，當t為何值時，四邊形BCMN為平行四邊形？問對于所求的t值，平行四邊形BCMN是否菱形？請說明理由.

分析：（2）判斷四邊形為平行四邊形的常用方法有四種，本題已經滿足BC∥MN，故只要BC=MN時，四邊形BCMN即為平行四邊形；而判斷平行四邊形為菱形的常用方法有兩種，本題是通過判斷鄰邊是否相等來解決的.

設直線AB的解析式為y=kx+b，代入A、B的坐標，得

（2）在四邊形BCMN中，因為BC∥MN，

所以當BC=MN時，四邊形BCMN即為平行四邊形.

即當t=1或2時，四邊形BCMN為平行四邊形.

此時BC≠CM，平行四邊形BCMN不是菱形；

所以，當t=1時，平行四邊形BCMN為菱形.

四、拋物線與正方形存在問題

例4 （2009內蒙古鄂爾多斯市）已知t1，t2是方程t2+2t-24=0的兩個實數根，且t1＜t2，拋物線的圖像經過點A（t1，0），B（0，t2）.

圖8

（1）求這個拋物線的解析式；

（2）設點P（x，y）是拋物線上一動點，且位于第三象限，四邊形OPAQ是以OA為對角線的平行四邊形，求?OPAQ的面積S與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，當?OPAQ的面積為24時，是否存在這樣的點P，使?OPAQ為正方形？若存在，求出P點的坐標；若不存在，說明理由.

分析：（3）要使平行四邊形OPAQ為正方形，只需滿足對角線垂直且相等，此時可求出點P的坐標為（-3，-3），然后再驗證該點是否在拋物線

因為拋物線與x軸的交點坐標為（-6，0），（-1，0）.

所以x的取值范圍為-6

代入解析式得：y1=-4，y2=-4.

所以點P的坐標為（-3，-4），（-4，-4）.

當點P為（-3，-4）時，滿足PO=PA，此時，平行四邊形OPAQ是菱形.

當點P為（-4，-4）時，不滿足PO=PA，此時，平行四邊形OPAQ不是菱形.

而要使平行四邊形OPAQ為正方形，那么，一定有OA⊥PQ，AO=PQ，此時，點P的坐標為（-3，-3），而（-3，-3）不在拋物線y=上，故不存在這樣的點P，使四邊形OPAQ為正方形.