幾何概型中的交匯問題

☉江西省贛縣中學北區 張小華

幾何概型中的交匯問題

☉江西省贛縣中學北區 張小華

幾何概型是高中數學的新增內容，是新課程高考的一大亮點和熱點，是對古典概率的進一步發展，是等可能事件的概念從有限向無限的延伸，是中學數學知識的一個重要交匯點，已成為聯系多項內容的媒介.本文展示幾何概型與集合、函數、方程、三角形、解析幾何的交匯與整合問題.

圖1

一、幾何概型與集合的交匯

例1 已知集合A={x|－1≤x≤0}，集合B={x|ax+b·2x－1＜0，0≤a≤2，1≤b≤3}，若a、b∈R，求A∩B=?的概率.

二、幾何概型與函數、方程的交匯

例2已知函數f（x）＝x2－2ax＋b2，a、b∈R.若a從區間［0，2］中任取一個數，b從區間［0，3］中任取一個數，求方程f（x）＝0沒有實根的概率.

解：因a從區間［0，2］中任取一個數，b從區間［0，3］中任取一個數，則試驗的全部結果構成區域Ω={（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3}.

這是一個矩形區域，其面積SΩ=2×3=6.

設“方程f（x）=0沒有實根”為事件B，則事件B所構成的區域為M={（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3，a＜b}.

圖2

三、幾何概型與三角形的交匯

解：以A點為起點作射線AM是隨機的，且射線AM落在∠BAC內的任何位置都是等可能的，故BM＜1時，射線AM一定落在∠BAD內，且射線AM落在∠BAD內的概率只與∠BAD大小有關，符合幾何概型的條件，記事件A={射線AM落在∠BAD內}.

圖3

上例只涉及一條射線，我們為什么不等價到線段上的點，而是等價到了弧上的點？那是因為等價到線段上的點破壞了等可能性（因為同等線段長射線掃過的區域不同，但同等弧長射線掃過的區域相同），故我們在等價的過程中不僅要注意一一對應，而且還需考慮符合幾何概型的等可能性.

四、幾何概型與解析幾何的交匯

圖4

總之，幾何概型雖然描述的是概率問題，可是它很容易與其他知識點相結合.從中可以看到它們的聯袂可使呆板、平淡的數學題充滿活力和無窮魅力.