讓數學課堂教學行走在生活的道路上——《向量加法》教學案的設計示例

☉山東省棗莊市第三中學 楊華文（特級教師）

讓數學課堂教學行走在生活的道路上
——《向量加法》教學案的設計示例

☉山東省棗莊市第三中學 楊華文（特級教師）

新課程改革的背景下，學生想要的是：自由遨游在數學的天空中，自由呼吸在數學的花園里，自由徜徉在數學的長廊里．在數學的天空里，飛翔著生動，閃爍著鮮活，蘊育著智慧，然而，數學的抽象與邏輯就像一堵墻，在定格數學的同時，也凝固了人們對數學的興趣．怎么辦？……答案無他：實現數學的生活化，讓數學課堂教學行走在生活的道路上．

一、導入新課要實現“生活化”

很多老師在教學過程中對導入新課環節不是很重視，其實中學課堂教學的導入新課環節，是整個課堂教學中不可缺少的有機組成部分，是通往精彩的橋梁，是遙控高潮的序幕，更是指引思維的路標．反之，一堂課如果一開始就波瀾不驚，學生對接下來的內容是難以提高興趣的．

向量的加法新課導入案例：

創設情境 直觀感知

圖1

圖2

圖3

圖4

以杭州灣大橋（如圖1）為整體背景，設計兩個問題情境如下：

問題1：建橋之前如何從嘉興到達寧波（如圖2）？建橋之后可以從嘉興直達寧波，此時的位移與前面兩次位移的結果有何關系（如圖3）？兩次位移的結果可稱為兩次位移的和，如何用等式來刻畫這三個位移的關系？

問題2：這是大橋南端的A型獨塔斜拉橋，其中兩根拉索對塔柱的拉力分別為F1、F2（如圖4），則它們對塔柱的共同作用效果如何？合力可稱為力與的和，如何用等式來刻畫這三個力的關系？

力與位移都是物理中的矢量，既有大小又有方向，若去掉它們的物理屬性，就是數學中的向量．它們的和也就可以抽象成向量與向量之間的一種運算——向量的加法（引出課題）.

［設計意圖］從學生已有的生活經驗和物理知識出發，以杭州灣大橋為背景創設問題情境，從而讓學生在位移合成、力的合成的基礎之上，抽象出向量加法的概念，進而引導學生總結出向量加法的三角形法則和平行四邊形法則，以及各自的操作方法與要領，使學生體會到向量加法的實際背景，經歷概念形成的過程，領悟到數學概念的本質，體現“數學教學是數學思維活動的過程教學”，容易激發學生的學習興趣和探究欲望．通過對兩個具體問題的分析翻譯提煉轉化，引出課題．不僅讓學生學會對實際問題進行提煉轉化的能力.更讓學生有耳目一新的感覺，極大地調動了他們探究的欲望和學習的興趣，并且在向量加法的起始課上，就拉近了生活與數學的距離，實現新課導入的“生活化”．

二、教學手段要接近“生活化”

針對以上兩個問題，筆者先是放手讓學生小組合作探究，對問題1和問題2有的小組討論，有的在練習本上邊寫邊畫，同學們展開了積極的嘗試探究，最后形成全班同學的大合作，使問題得以解決．按照誘思探究教學理念的引領，筆者在大屏幕上投放出了下面的系列問題及解決時間和解決方式．

向量的加法新課探究內容：

1.抽象概括，形成定義

（1）建立數學模型

圖5

（2）抽象數學概念

問題4：由此，你們能概括出一般的兩個向量a與b和的定義嗎？

學生活動：在平面內任取一點O，平移a使其起點為點O，平移b使其起點與a向量的終點重合，再連接向量a的起點與向量b的終點．

①平移的目的是什么？——平移后使得兩個向量能在同一個三角形中.

②平移后兩個向量的終點與起點有何關系？——使得第二個向量的終點與第一個向量的起點重合.

③和向量又是什么？——連接向量a的起點與向量b的終點，并指向b的終點，得到的向量O—→B即為向量a與b的和.

向量的加法的定義：求兩個向量和的運算叫做向量的加法．

向量加法的法則：和的定義給出了求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法則．

問題5：用三角形法則求向量和的過程中要注意什么？——平移兩個向量使它們首尾順次相連．

問題6：還可以用什么方法求兩個向量的和呢？——向量加法的平行四邊形法則．

問題7：平行四邊形法則有何特點？——平移兩個向量至同一起點．

兩種方法求和的結果是一樣的，可見，向量加法的三角形法則與平行四邊形法則在本質上是一致的．在具體求和時，應根據情況靈活地選擇．

（3）嘗試運用法則

試一試：如圖6，已知a、b，作出a+b.

圖6

向量加法的三角形法則對共線向量的求和仍然是適用的，反映了三角形法則具有廣泛的適用性．

［設計意圖］給學生充分的感性材料，在教學中采用了“以問題為中心”的討論式教學模式．把問題作為教學的出發點，精心設計問題情境，組織相關的數學成分，加強相關內容的聯系，使問題處于學生思維的最近發展區，即接近“生活化”，以此激發學生的好奇心與求知欲．并能夠較好地培養學生數學地發現問題、提出問題、解決問題的能力．通過學生發現知識從問題中來，培養學生提煉、概括、建立數學模型的能力（一般性探究）．暴露由具體到抽象的思維規律，培養學生的交流合作意識，在探索的過程中獲得成就感．避免直接將結論拋給學生，讓其從中享受發現的快樂．

2.類比猜想，探究性質

問題8：加法其實我們并不陌生，從小就開始學習數、字母、式的加法，實數的加法有哪些運算性質？向量的加法是否也滿足類似的性質？如果滿足，具體形式是什么？

實數的加法 向量的加法a+0=a a+（-a）=0 a+b=b+a（a+b）+c=a+（b+c）性質a+0=a a+（-a）=0 a+b=b+a(a+b)+c=a+(b+c)

交換律的驗證讓學生通過畫圖自己檢驗，結合律的驗證師生借助于多媒體共同完成.

研究結果表明：向量加法也滿足交換律和結合律，這與數的加法是一致的.有了交換律與結合律，向量的加法就可以按任意的組合與任意的次序進行，從而豐富向量加法的內涵.

［設計意圖］向量加法運算律的教學，是引導學生通過與數的加法進行類比得到的，并讓學生自主探索，構圖進行驗證．這樣不僅體現了學生的主體地位，同時還培養了學生科學的探究能力，歸納推理能力，滲透了數形結合、類比推理等思想．體會數學運算規律的和諧美，和知識來源的“生活化”．

三、教學內容要體現“生活化”

學生在課堂活動中學習的過程就是學生的智慧、情感、體驗、思維，生活能力不斷生成的過程．所以必須把多種多樣的生活化的教學手段引入課堂，讓學生真正動起來，活起來，實現師生之間、生生之間的多維互動、思考、交流、討論，只有這樣才能把學生的潛能充分發揮出來．

向量的加法新課探究案例：數學運用深化知識

例1 如圖7，O為正六邊形A1A2A3A4A5A6的中心，作出下列向量：

圖7

圖8

并以2008年北京奧運圣火的傳遞提供了現實原型（如圖8）．

最后我們再回到這座宏偉壯觀的大橋來解決這樣一個實際問題：

［設計意圖］數學課程既要講邏輯推理，更要講道理，通過對典型例子的分析和學生自主探索活動，使學生理解數學概念、結論逐步形成的過程，體會蘊涵在其中的思想方法，體現教學內容的“生活化”，追尋數學發展的足跡，把數學的學術形態轉化為學生易于接受的教育形態．這是新課程理念中特別強調的，也是筆者備課過程始終如一的追求．

圖9

圖10

圖11

例2 已知橋（如圖9）是南北方向，受落潮影響，海水以12.5km/h的速度向東流，現有一艘工作艇，在海面上航行檢查橋墩的狀況，已知艇的速度是25km/h，若艇要沿著與橋平行的方向由南向北航行，則艇的航向如何確定？

答：若要游艇沿著與橋平行的方向由南向北航行，其航向應為北偏西30°．

［設計意圖］以學生比較熟悉的生活問題作為例題，從生活原型中抽象出數學模型，在此基礎上去研究數學模型，最后應用到生活實踐中去．并再一次告訴我們，數學源于生活，又服務于生活，體現了數學“生活化”平易近人，讓學生切身感受生活創造了數學，同時數學美化了生活．

至此學生不僅順利解決了引例所提出的問題，還自行探究出了向量加法的運算法則，并且還明確了它所滿足的運算律，整堂課學生都群情振奮、情緒高昂．因此，實現數學教學生活化、讓數學課堂教學行走在生活的路上，是新課程改革的必然趨勢，也是我們數學教學的生命之泉．其實，要做到數學教學的生活化，方法遠不止這些，“教無定法，貴在得法”，只要我們每一位數學教育工作者抓住新課程改革的重要機遇，切實踐行課程改革新理念，做教學的有心人，就一定能給學生營造出一個又一個生活化的數學課堂，奉獻出一堂又一堂數學教學的精品.

四、教學感悟

1.精心設計問題，促進深度學習

美國心理學家布魯納指出：“教學過程是一種提出問題和解決問題的持續不斷的活動，思維永遠是從問題開始．”因此，怎樣精心設置問題系列，為學生的學習活動搭建恰當的平臺，對于一節課的教學走向，促進學生的自主學習和深度學習是非常關鍵的．本節課，筆者在深入研讀教材的基礎上，對教材內容進行了重組，共設計了8個問題和2個例題，而且實現了問題的“生活化”．難度由低到高，形式由簡潔直觀到隱晦抽象，內容由數到形再到數．通過這些問題串，讓學生們一起自然地建構新概念，應用新概念，反思新概念，從不同的角度理解新概念，最后提升到綜合運用所學概念解決實際問題的思維水平，追求一種自然、流暢的教學節奏，取得良好的教學效果．

2.稚化教師思維，引領學生探究

現代認知心理學認為，新學習的知識必須納入原有的認知體系，并在原有的認知結構中找到聯系點，才能將新知識同化，牢固地掌握新知識．新課標提倡關注學生的認知特點，注意站在學生的角度，精心創設問題情景，誘發學生思維的積極性，用卓有成效的啟發引導，促使學生的思維活動持續發展．備課首先應該備學生，教師應非常熟悉學生的知識基礎和認知水平及學習的薄弱之處，要善于改變自己的身份，稚化自己的思維，把自己當做學生，從學生的角度審視問題，為學習者設計教學．要知道：在教師看來，清澈見底的問題到了學生那兒可能就是渾濁一片．本節課中的問題設計，堅持低起點，高落點，引導學生觀察、歸納、驗證，進行自主探究，激發學生的學習興趣，培養鍛煉了學生的思維能力．

3.及時調整預設，實現精彩生成

在新課程改革的教育理念下，數學課堂逐漸走向“學生參與、交往互動、共同發展”．課堂教學過程是一個個活潑的頭腦在教師預設好的問題情境中的交流、對話與活動的過程，是“精心預設”與“動態生成”和諧統一的過程．課堂上，學生的深思頓悟、靈機一動、節外生枝和思維遇阻、疏忽大意等，都可能催生出一個個鮮活的教學資源，為創設智慧、高效的課堂帶來可能．本節課中，筆者注意及時調整課前的預設，給學生創設了盡量多的發揮的空間，為積極的生成提供了豐富的可能性，讓學生在自主學習的交流和互動中逐步完善認識，為豐富的生成提供了更大的空間，使課堂在師生的共同創造中變得充滿靈性、充滿智慧、充滿活力．

1.章建躍.理解學生 理解數學 理解教學［J］.中國數學教育（高中版），2010（12）：1-5.

2．陳繼理.“生”動的課堂才是高效的課堂［J］.中國數學教育（高中版），2012（1-2合刊）：43-45.

3．楊華文.看山還是山 看水還是水［J］.中學數學（高中版），2012（6）：16-18.