關于高等數學教學的幾點認識

沈菁華

關于高等數學教學的幾點認識

沈菁華

摘 要：為了提高高等數學課程的課堂教學質量，深化高等數學教學改革，本文從作者的教學實踐出發，就如何改革高等數學的教學方法和提高學生的學習興趣提出了一些見解：注重數學思想方法傳授，啟迪學生的創新思維；融入數學史、數學文化的內容；強調實際應用；注重幾何直觀的引入。

關鍵詞：高等數學；創新思維；數學史

沈菁華/蘇州科技學院數理學院講師（江蘇蘇州215009）。

在高等教育課程體系中，高等數學是很多專業必修且最重要的基礎課程之一，也是培養學生能力和提高學生素質的一門重要學科。它不但為學生學習后續課程提供必要的數學知識和方法，同時也是培養學生運用數學理論和方法分析和解決問題的能力、培養邏輯思維能力和空間想象力的重要途徑。但是，學生學習的現狀卻不容樂觀，學生在學習掌握這門課的過程中普遍感到概念抽象，思維難于展開，面對問題難于入手，方法難于掌握。如何激發學生的興趣、提高高等數學的教學質量，已經成為我們迫切需要解決的問題。針對這一現象，在教學過程中，要充分體現以人為本的教學理念；要求教師必須認真鉆研教材，突出高等數學的實用性和趣味性，并能及時調整教學案例，綜合應用多種教學手段授課。以下，筆者根據多年的教學實踐，談談對高等數學教學的幾點認識。

一、注重數學思想方法傳授，啟迪學生的創新思維

在這一過程中，將新內容和學生已經熟悉的知識進行類比，使學生更容易理解、接受，有利于新知識的掌握，教學取得了良好的效果，同時也培養了學生的創新思維。

二、融入數學史、數學文化的內容

任何知識都是產生在一定的歷史背景中，所以，在開始講授高數課程之前，我們都會將微積分的發展史利用一節課的時間作一簡單介紹。從公元前5世紀極限思想的萌芽，到古希臘的阿基米德所建立的確定面積和體積的方法，到牛頓、萊布尼茨建立微積分，再到微積分理論基礎的完善。微積分的發現歷經2000多年的歷程，可以說是人類歷史上的奇跡，而學生們雖然高中學過導數和微分，有的甚至知道積分的計算方法，但是他們對于微積分的發展歷史卻幾乎一無所知，這不能不說是中學教育的失敗。通過對微積分歷史的簡單回顧，可以讓學生初步了解微積分的基本框架，使其更有興趣去學習和掌握這門重要課程。另外，在高等數學教學中適時地穿插一些數學發展的歷史和故事，通過成功數學家的實例闡述科學家是如何提出問題、思考問題和解決問題的。展現數學知識的產生背景，數學概念的形成和發展過程，以及數學定理的提出過程，可以提高學生學習數學的興趣，加強學生對相關知識的理解。比如，在講述無窮小的內容時，就可以引出歷史上的第二次數學危機。無窮小是零嗎？這個問題籠統地說就是貝克萊悖論。貝克萊指出：“牛頓在求導數時認為無窮小既等于零又不等于零，召之即來，揮之即去，這是荒謬的。”沒有清楚的無窮小概念，使得導數、微分、積分等概念不清楚，無窮大概念也不清楚，而且導致了發散級數求和的任意性，符號的不嚴格使用，以及不考慮連續就進行了微分，不考慮導數及積分的存在性和函數可否展開成冪級數等問題。

通過了解第二次數學危機，對照高等數學教材中無窮小的概念，學生可以加深理解：無窮小不是零，是一類趨向于零的函數，常數零也是一類特殊的無窮小。

三、強調實際應用

雖然學校和老師一直強調高等數學很重要，但是學生往往對數學的重要性還沒有足夠的認識，這表現在他們對學習數學目的不明確，缺乏學習動力，對學習數學有一定的恐懼心理。他們認為學習數學就是記住其中的定義和定理，做大量習題或者記住大量習題的解法，這樣在考試中就能取得好的成績。大部分學生感到數學枯燥乏味，學習數學的積極性不高，有些學生甚至在學習上產生了困難，對數學產生了厭倦情緒。因此，授課老師要讓學生改變這種錯誤認識，讓他們切身感受到我們學數學不僅僅是紙上談兵，它在很多學科中都有應用，從而提高學生學習數學的興趣。

比如，函數的極值和最值問題是高等數學中的重要內容，在這方面有大量的的例題和習題。對于利用函數的導數研究函數的極值，學生不難掌握，但是如果沒有應用類的問題則很難體現這種方法的應用價值。博弈論相對于數學來說是一門年輕的科學，現在它在生物學、經濟學、計算機科學、軍事戰略和其他很多學科都有廣泛的應用。下面我們通過一個博弈論中的模型來說明函數極值方法的應用。

例（古諾模型）設市場有1、2兩個寡頭廠商，生產并銷售同一產品。他們的產量分別為q1，q2，邊際成本分別為c1，c2，無固定成本。市場的逆需求函數為

其中a＞ci（i=1,2）是一個固定常數，即該產品的市場最高價格。

假設兩產商對市場需求和他們的成本和收益都是共同知識，并且在事先沒有任何約定和協議的前提下，試確定使他們收益最大的產量。

解廠商的收益就是他們的利潤函數，分別為

顯然π1，π2都是關于q1，q2的連續函數，收益最大就是求π1，π2的最值．

則（q1*，q2*）是兩廠商的最佳選擇，即該博弈的平衡局勢或稱為純策略納什均衡點。

從求解過程中可以看出，這里實際上使用了非常基礎的高等數學的方法。在更加復雜的博弈論模型的求解中，同樣也會用到高等數學的這些方法。例如，在微分對策中研究的大部分模型，它們的求解過程實際上就是求解條件極值問題的拉格朗日乘子法。

四、注重幾何直觀的引入

微積分的創立首先是為了解決17世紀遇到的科學問題，這些問題有著很強的物理背景或幾何背景。在解決這些問題的過程中抽象出來的微積分的概念和結論，都有一個從直觀洞察到邏輯嚴密化的過程。可以說，具體應用微積分解決實際問題依然需要把現實問題抽象的模型同這些直觀相匹配，通過幾何直觀領悟這些概念和結論的數學內涵依然是一條有效途徑。

圖1

上述解釋，除用到極限的性質外，同時為定義一般曲線弧長埋下伏筆。而弦AB與弧A(B長度之比的極限是，恰是極限情形下“曲”化為“直”的一個基本實例。

借助幾何直觀能夠揭示概念的本質，幫助理解定理的內涵。高等數學中還有很多內容，比如微分中值定理、隱函數存在定理、條件極值等都可以借助幾何直觀理解。幾何直觀雖然不能代替嚴格的證明，但幾何直觀的運用使得高等數學的學習變得簡單，容易被學生接受。

總之，在高等數學的教學過程中，應該根據學生的特點和水平，選用能夠激發學生學習熱情的教學內容，采取適當的啟發學生積極思維的教學方法，讓學生主動地去探索數學真理，培養學生學習數學的興趣和刻苦鉆研數學問題的熱情，引導學生敢于和善于發現問題或提出問題。

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[1]克萊因.古今數學思想（第一冊）[M].張理京，張錦炎，譯．上海：上海科學技術出版社，1979

[2]同濟大學數學系．高等數學(第6版)[M]．北京：高等教育出版社，2007

[3]汪賢裕，肖玉明．博弈論及其應用[M]．北京：科學出版社，2008

[4]李曉奇．先驅者的足跡—高等數學的形成[M]．沈陽：東北大學出版社，2004

中圖分類號：G642

B

1671-6531（2012）11-0103-02

江蘇省教改基金項目資助（340912101）；蘇州科技學院青年科學基金項目資助

：姚 旺