壓電陶瓷執行器多模時變滑模逆補償控制

賴志林， 劉向東， 陳振， 任憲仁

(北京理工大學自動化學院，北京 100081)

0 引言

壓電陶瓷執行器具有推力大、響應快、精度高等諸多優點，在半導體制造、生物醫學、航天航空等許多尖端科技領域中發揮著越來越重要的作用［1－2］。然而，壓電陶瓷的遲滯及蠕變特性，給壓電陶瓷的精確控制帶來了很大困難。許多學者為此提出了很多遲滯補償的控制方法。為了減弱遲滯非線性對控制的影響，一般采用遲滯逆模型對壓電陶瓷的遲滯進行逆補償線性化。然后設計控制器對線性化后的壓電陶瓷進行控制。Ge和Jouaneh用數值方法實現基于Preisach模型的前饋控制，利用PID控制器進行反饋控制，較好地抑制了遲滯特性對系統的影響，提高了控制精確度［3］。Shen通過改進的PI模型建立遲滯的逆模型，并且設計了帶有滑模擾動觀測器的滑模變結構控制器串聯在遲滯系統之前，其控制效果在實驗平臺上得到了驗證［4］。文獻［5］用反饋誤差學習方法，快速地在線得到壓電陶瓷的逆模型，結合PlD反饋控制，在dSPACE系統平臺上實現了壓電陶瓷的神經網絡自適應逆控制，并且控制效果比PID有明顯提高。文獻［6］提出了一種基于極坐標的數學建模方法，在該遲滯模型的基礎上，引入前饋PID控制方法進行實驗，實驗結果表明，該方法具有較高的跟蹤精確度和較好的線性度。

為了實現壓電陶瓷的精確控制，本文采用Preisach模型建立壓電陶瓷執行器的遲滯逆模型，并利用逆模型對遲滯進行串聯補償。針對補償后的線性模型，設計了滑模控制器進行控制。為了減小穩態誤差，選取的滑模面中加入了對誤差的積分。并且為了實現全局魯棒性及減弱由于對誤差積分帶來超調等影響，本文設計了兩種不同滑模面的滑模，并且利用多模控制的思想進行控制。另外，本文采用了模糊控制理論對多模控制中的切換時間進行調節，使得兩種控制之間平滑地切換。本文設計的時變滑模控制器，在實驗平臺上得到了驗證。

1 壓電陶瓷執行器

壓電陶瓷疊堆驅動器是由單片的壓電陶瓷片并聯而成的如圖1所示。其內部等效結構如圖2所示。壓電陶瓷片層間使用銀、石墨合金作為內電極，每隔一層的內電極形成玻璃絕緣膜，再裝上外電極，形成并聯連接。理想情況下，壓電陶瓷疊堆驅動器的伸縮量與驅動電壓之間是簡單的線性比例關系。但實際上，由于壓電陶瓷極化機理和機電耦合效應等的影響，壓電陶瓷疊堆執行器還存在著遲滯、蠕變等非線性特性［7］。文獻［8］把壓電陶瓷執行器看成是非線性部分(主要為遲滯非線性Γ(－))和線性部分G串聯組成。如果把非線性部分看成是系統的擾動，則壓電陶瓷執行器的狀態方程可表示為

c =[1 0 ]，u，r，y∈R1。r為壓電陶瓷輸入，y為壓電陶瓷輸出，u為遲滯輸出，d為系統擾動，n為干擾。寫成分量形式的方程為

其中:x1為壓電陶瓷執行器輸出的位移;x2為速度;T為時間常數;ξ為阻尼比;K為系統增益。

圖1 壓電陶瓷結構Fig．1 Structure of the PA

圖2 壓電陶瓷內部等效結構Fig．2 Equivalent structure

2 基于Preisach逆補償的多模時變滑模控制律設計

為了降低壓電陶瓷執行器遲滯非線性，在控制系統中采用逆遲滯模型對壓電陶瓷執行器的遲滯進行補償。補償后可以等效地把壓電陶瓷執行器看成一個線性對象G。文獻［9］中采用Preisach分類排序的方法建立遲滯逆模型，并且針對線性部分設計了時變滑模控制器。這種滑模逆補償控制策略消除了滑模控制的到達階段。為了進一步提高滑模控制的精確度，在滑模面上加上了積分項用于消除穩態誤差。然而，積分項的加入容易引起超調。為了解決這種滑模控制中存在的問題，設計了基于Preisach逆補償的多模時變滑模控制律。

如圖3所示，如果不考慮干擾及模型不確定性等影響，逆補償后的系統方程(2)中的輸入及擾動:u=uc，d=0，n=0。

圖3 壓電陶瓷執行器的滑模逆控制Fig．3 SMC of the PA based on the inverse compensation

定義位移誤差為

其中:y為系統的輸出位移;fr為系統的期望位移輸入。

設計具有指數收斂［10］性質的時變滑模面為

其中:δ，a∈R。c1＞0，c2＞0 是常數。

當t→∞時，滑模面變為

為實現滑模控制的全局魯棒性，在初始時刻系統相軌跡需處于時變滑模面上，令S1=0，可得

當系統在滑模面上滑動時有

式(1)與式(7)兩方程聯解得到等效控制量為

則滑模控制器輸出控制量為

其中，定義usw=ηsgn(S1)，η＞0為切換控制量增益。

另外，為了消除抖振，設切換控制量usw=ηS1，則滑模控制器的輸出量為

定義Lyapunov函數為

對式(11)兩邊對時間求導可得

在實際中，由于逆模型的不精確性，遲滯非線性不能完全抵消，設沒被抵消部分為ΔΓ。另外，考慮干擾及模型不確定性等影響，d≠0、n≠0。所以，控制對象的輸入為

采用式(5)所示的滑模面，因為引入了積分項，有利于消除系統的靜態誤差，提高系統的跟蹤精確度。但是，在系統跟蹤初始階段，由于誤差較大，在積分的作用下增大了系統的超調，并且影響了滑模的到達階段。

為此，設計了兩個滑模控制器，采用多模控制的方案。在滑模的初始階段采用沒有積分項的滑模面為

當系統的輸出跟蹤上輸入后，此時誤差較小，把積分項加入到滑模面中，如式(5)所示。

當滑模面取為S3時，可以得到控制量輸出為

其中，ueq1為等效控制。usw1=η1sgn(S3)，η1＞0 為切換控制量增益。

由以上分析可知，在初始階段，選用沒有積分項的滑模面S3;當跟蹤誤差較小時，切換到有積分項的滑模面S1上，由此構成一個多模切換系統。傳統的切換過程直接采用誤差或者時間的閾值，但是這種固定的閾值容易使得切換過程產生一定的波動，不夠平滑。為了使得積分項平滑地加入，采用了模糊理論，得到切換的時刻。如圖4所示。

圖4 多模控制系統結構Fig．4 Multi-mode control system

模糊控制器中的輸入量為誤差e和誤差導數e，輸出為切換的時間t。根據實際試驗情況，定義誤差e及誤差導數e變化范圍為模糊論域，即

其模糊集均為{NB，NS，ZE，PS，PB}，表示負大，負小，零，正小，正大。隸屬度函數選用常見的等腰三角形。

切換時間t的取值論域為［30n，100n］。這里n為控制周期。同樣分為{NB，NS，ZE，PS，PB}。

模糊規則是指如何從控制器輸入得到控制器的輸出。根據誤差及誤差變化率的情況確定切換時間，使切換點的誤差小，且沒有誤差增大的趨勢。具體規則如表1所示。

表1 模糊規則表Table 1 Fuzzy rule

最后把由模糊推理得到的模糊量轉換成精確的切換時刻值。這里選用重心法得到具體的切換時間。

3 實驗研究

為了驗證本文方法的有效性，開展了壓電陶瓷執行器滑模+逆控制實驗研究。在實驗中，控制器用TI公司TMS320LF2407做控制器件，數模及模數轉換分別是16位的AD669及AD976，控制器通過串口把采集到的數據傳給上位機。壓電陶瓷執行器平臺是MPT－1JRL/I002，此平臺內部安裝電阻應變片位移傳感器。壓電陶瓷執行器的耐壓范圍為－30～150 V，輸出位移范圍為0～15.02 μm。驅動電源為HPV系列壓電陶瓷驅動電源。

根據Preisach逆模型分類排序數學實現公式可知，可以通過插值的方法實現遲滯逆模型。具體步驟在文獻［6］中已經給出。

壓電陶瓷執行器的線性部分模型參數可以通過線性辨識方法得到。壓電陶瓷執行器的狀態方程參數如下:K=1，T=2.329 ×10－4，ξ=0.681 3。

在實驗過程中，給壓電陶瓷執行器輸入1Hz正弦曲線u(i)=5－3×sin(π/2－π×i/200)，其中i為采用點數。

為了說明壓電陶瓷執行器遲滯非線性的對控制精確度的影響，首先給出開環控制時的跟蹤情況及實際位移和期望位移之間的擬合圖，如圖5及圖6所示。

圖5 開環控制跟蹤曲線Fig．5 The tracking curve of open-loop control

圖6 開環控制擬合曲線Fig．6 The fitting curve

由開環實驗可知，遲滯非線性所引起的擾動較大，所以對于普通滑模控制，其開關切換增益較大，由此產生的抖振也較大。如圖7所示為跟蹤正弦時候的抖振情況。

圖7 普通滑模控制跟蹤曲線Fig．7 Tacking curve of the conventional TVSMC

圖8～圖11為改進的多模時變滑模控制實驗結果。其中，圖8是固定設置一個積分切換點的實驗情況，圖中明顯可以看到切換的過程的抖動。應用模糊理論確定切換時間后，積分的切換可以比較順滑，如圖9所示。圖10為改進多模時變滑模控制的誤差，其中，平均絕對值誤差為0.013 5 μm，均方差為0.000 141。圖11為實際輸出與期望輸出的擬合圖，與圖6相比，遲滯環被大部分抵消。

圖8 固定切換時間的多模控制Fig．8 Multi-mode control of switching time fixed

圖9 模糊切換時間的多模控制Fig．9 Multi-mode control of switching time controlled by fuzzy controller

圖10 誤差曲線Fig．10 The error curve

圖11 擬合圖Fig．11 The fitting curve

4 結論

為了提高壓電陶瓷的控制精確度，提出了多模時變滑模逆補償控制策略。針對遲滯非線性，在利用逆模型對遲滯進行串級補償的基礎上，對未能補償的遲滯及蠕變等非線性，設計了時變滑模控制器。由于分別對達到階段和穩態設計了兩個滑模面，所以采用了多模控制。并且對切入時間用模糊控制得到。在消除滑模抖振方面，直接用滑模面代替切換函數，并且證明了其穩定性。實驗結果驗證了以上控制策略的有效性。

［1］VASILJEV P，MAZEIKA D，KULVIETIS G．Modelling and analysis of omni-directional piezoelectric actuator［J］．Journal of Sound and Vibration，2007，308(3/4/5):867－878．

［2］張棟，張承進，魏強．壓電微動工作臺的動態遲滯模型［J］．光學精密工程，2009，17(3):551－556．

ZHANG Dong，ZHANG Chengjin，WEI Qiang．Dynamic hysteresis model of piezopositioning stage［J］．Optics and Precision Engineering，2009，17(3):551－556．

［3］P．Ge，M．Jouaneh．Tracking control of a piezoceramic actuator［J］．IEEE Translations on Control System Technology，1996，4(3):209－216．

［4］J．C．Shen，W．Y．Jywe，H．K．Chiang，et al．Precision tracking control of a piezoelectric-actuated system［J］．Precision Engineering，2008，32(2):71－78．

［5］黨選舉．壓電陶瓷執行器的神經網絡實時自適應逆控制［J］．光學精密工程，2008，16(7):1266－1272．

DANG Xuanju．Real-time adaptive inverse control based on neural networks for piezoceramic actuator［J］．Precision Engineering，2008，16(7):1266－1272．

［6］王希花，郭書祥，葉秀芬，等．壓電陶瓷遲滯特性的建模及復合控制［J］．電機與控制學報，2009，13(5):766－771．

WANG Xihua，GUO Shuxiang，YE Xiufen，et al．Modeling and feed-forward control based on piezoelectric ceramic hysteretic［J］．Electric Machines and Control，2009，13(5):766 －771．

［7］孫寶元．現代執行器技術［M］．長春:吉林大學出版社，2003:87－90．

［8］Jia-Tzer，Hsu and Khai D．T．Ngo．A hammerstein-based dynamic model for hysteresis phenomenon［J］．IEEE Transactions on Power Electronics，1997，12(3):406 －413．

［9］LAI Zhilin，LIU Xiangdong，CONG Binglong，et al．Time-varying sliding mode control in hysteresis compensation of the piezoceramic actuators based on the inverse preisach model［C］//2011 International Conference on Future Computer Science and Education，Xi'an，China．2011:553－557．

［10］CONG Binglong，LIU Xiangdong，CHEN Zhen．Exponential timevarying sliding mode control for large angle attitude eigenaxis maneuver of rigid spacecraft［J］．Chinese Journal of Aeronautics，2010，(23):447 －453．