軋機液壓伺服位置系統的自適應輸出反饋控制

李建雄， 方一鳴，2， 石勝利

(1.燕山大學工業計算機控制工程河北省重點實驗室，河北秦皇島 066004;2.國家冷軋板帶裝備及工藝工程技術研究中心，河北秦皇島 066004)

0 引言

電液伺服系統因其具有功率體積比大、響應速度快、控制精度高等優點，在工業過程中得到了廣泛應用。但由于電液伺服系統本身具有較強的非線性特性，并存在內部參數和外負載等不確定性，這些因素增加了控制系統設計的難度。

為提高液壓伺服系統的控制性能，文獻［1］考慮到液壓系統中存在的非線性、參數不確定性和未知外部擾動，基于非連續投影算法，提出了一種自適應魯棒控制方法。文獻［2-3］考慮到系統中存在的非線性不確定參數，通過構造一個特殊的Lyapunov函數，將非線性不確定參數問題轉化為線性不確定參數問題，然后利用滑模自適應方法設計控制器，能使系統達到漸近跟蹤。另外，文獻［4］采用了自適應滑模變結構的方法，文獻［5］將模糊神經網絡的方法應用到液壓伺服位置控制中。上述結果都是在假定系統所有狀態可測的前提下得到的，然而，通常情況下，在液壓伺服系統中并非所有狀態都是可測的，如柱塞速度。

考慮到液壓伺服系統中存在不可測狀態，文獻［6］設計了動態輸出反饋控制器，文獻［7］在假定只有壓力可測的前提下，構造了一個PI觀測器重構系統狀態。考慮到不確定參數和未知外部擾動的存在，文獻［8］提出了基于魯棒自適應觀測器的速度跟蹤控制方法。然而，在文獻［8］中，除外部擾動外，只考慮了兩個參數是未知的情況，將系統轉換成一個較為特殊的結構，并將一些含有輸入的非線性項歸為不確定項，這樣處理將會在一定程度上影響控制效果。

本文在只有缸位移信號和油壓信號可測的前提下，針對存在未知參數和未知外負載力的軋機液壓伺服位置控制系統，提出了一種基于高增益觀測器的自適應輸出反饋控制算法。

對于存在未知參數的非線性系統的輸出反饋控制，通常的方法是先構造帶有參數估計的自適應觀測器，然后基于所構造的觀測器設計輸出反饋控制器。常用的帶有參數估計的自適應觀測器有兩種:一是需要滿足觀測器匹配條件的自適應觀測器，這里的觀測器匹配條件是指未知參數包含在可測輸出狀態的動態內，比如文獻［9］的BTP=MC和文獻［10］的 ψT(t)ΛST=E(t)G(t)C0。二是需要引入輔助變量的自適應觀測器，比如文獻［11］需要引入一個n×q維輔助矩陣變量，文獻［12-13］需要引入兩個分別為n×q和q×q維的輔助變量，其中n和q分別為系統狀態和未知參數的維數。對于本文所考慮的液壓伺服位置系統，其系統結構并不滿足第一種觀測器要求的匹配條件。并且由于需要估計的未知參數較多，因此，采用第二種觀測器將會大大增加觀測器的維數。

不同與以上的自適應觀測器，本文設計的高增益觀測器不依賴于系統輸入和參數的估計值，只以系統的輸出作為觀測器輸入，其結構相對簡單，易于實現。除包含高增益觀測器外，所設計的自適應輸出反饋控制器還包括參數估計器和動態反饋控制器。理論分析表明，所提出的算法能夠保證閉環系統最終有界穩定，系統狀態及其估計誤差最終收斂到原點的一個由高增益決定的鄰域內。最后，將所設計的控制器應用到某650 mm可逆冷帶軋機液壓伺服位置系統進行仿真研究，仿真結果驗證了所提出算法的有效性。

1 問題描述

軋機液壓壓下系統的執行機構采用非對稱液壓缸(油缸)，而非對稱油缸的力平衡方程可表示為［7］

式中，p1和p2分別為油缸無桿腔和有桿腔的壓力;A1和A2分別為無桿腔和有桿腔活塞的有效作用面積;xp為缸位移(其增/減對應于軋機輥縫的減/增);m為柱塞和上輥系運動部件的等效總重量;Bp為柱塞及負載運動中的粘滯摩擦系數;ks為負載彈性剛性系數;FL為作用在柱塞上的外負載力。忽略外泄漏的影響，系統的流量方程為［3，14］

式中:Ct為液壓缸內泄漏系數;βe為體積彈性模量;V10和V20分別為無桿腔及相連管道與有桿腔相連管道的初始容積;Q1和Q2分別為無桿腔流入與有桿腔流出的流量，可表示為［7，14］

伺服閥的閥芯位移xv和伺服閥輸入u之間可以近似為比例關系，即可以表示為xv=kvu，其中kv＞0為增益系數。

然后，令z1=xp，z2==xp，z=［z1z2z3］T，則由式(1)～式(5)，整理可得

首先，在液壓系統中，缸位移信號y=z1=xp以及兩腔壓力信號p1和p2可以通過位移傳感器和壓力傳感器測量得到。在系統(6)中，狀態z2和z3的物理意義分別油缸柱塞的速度信號和加速度信號，這兩個信號通常是不能直接測量的。

其次，由于油缸的沖程是有限的，即z1是有限的，進一步可以得出系統狀態z是有界的，不失一般性地假設|zi|≤其中 ˉzi＞ 0=1，2，3。并考慮到油壓p1和p2的有界性，可以得出，φ1(z1)，φ2(z1，p)和 φ2(z1，p)都是有界的，且 ψ(z1，p)＞0。

另外，由于參數Ct，βe，Cd，w，ρ在不同系統溫度、不同工作環境等情況下是不確定的;由于管路等原因，V10和V20也不能準確測量;m不能精確已知，外負載力FL也是未知的，因此系統(6)中的參數θ，θ5和d(t)是未知的。假定 θ，θ5和d(t)都是有界的，即有 θi≤θi≤，|d|≤，其中 θi＞0＞0，i=1，…，5＞0 為已知常數。并假定未知參數 θi，i=1，…，5是定常或慢時變的。

本文的主要目的是:針對具有不可測狀態、未知參數、非線性和未知干擾的系統(6)，設計控制器u使系統輸出y能夠快速有效地跟蹤參考軌跡yr。

2 自適應輸出反饋控制器設計

本節將給出一種基于高增益觀測器和參數估計器的自適應輸出反饋控制算法。

首先，假定參考軌跡yr有界，并且和存在且有界。令zr=［yryryr］T，e=z-zr，e=［e1e2e3］T，由式(6)，可得出誤差模型為

為簡化和方便表示，可將函數φz(e+zr，p)表示為 φz(ζ，e2，e3)，其中 ζ=［e1，pT］T為可測量信號，e2和e3為不可測量信號。

然后，構造自適應輸出反饋控制器，即

式(9)中的投影算子proj可表達為［15］

可以看出，所設計的自適應輸出反饋控制器包含三部分:用于估計系統狀態的高增益觀測器(8)、用于反饋的控制器(10)和用于估計參數的參數估計器(9)。而反饋控制器(10)又由兩部分組成:確保系統穩定的主反饋部分和用于抵消干擾項d和部分不確定的補償部分。

所設計的自適應輸出反饋控制器中的待定矩陣L，K和PK由下面定理給出。

定理1 選擇γ＞1和α＞0，如果存在正定對稱矩陣 PL∈R3×3，XK∈R3×3和 QL∈R3×3，矩陣 YL∈R3和 YK∈R1×3以及正數 ε1和 ε2，使得不等式

證明 該證明由(P1)和(P2)兩部分組成。

(P1)部分:觀測器收斂性分析

由式(7)和式(8)，可得

由于z1和 θi(i=1，…，5)有界，容易得出 φ1(z1)，φ2(z1，p)和v2都有界，再根據式(9)和式(11)，可得(i=1，…，5)有界，因此存在常數cηj＞ 0，j=1，2，3，使得‖η1‖≤cη1，‖η2‖≤cη2，|η3|≤cη3。

考慮正定函數V1(ξ)=ξTPLξ，由式(15)，可得

將式(17)和式(18)代入式(16)中，整理得

令YL=PLL，如果不等式(12)成立，則有

由于QL＞0，γ＞1，因此存在一個有限時間T1，使得當t≥T1時，有

(P2)部分:閉環系統穩定性分析

由系統(7)和控制器(10)，經整理可得到閉環系統為

考慮由式(10)第三個公式定義的v2，以及≥1，可得

根據由式(11)定義的投影算子，若對未知參數θi的估計為=(βiχi)，i=1，…，5，其中，θi≤θi≤，容易驗證

式中:κj=1，j=1，…，4;κ5=＞0。

再將不等式(25)，式(26)和式(28)代入式(24)中，整理可得

顯然α1＞0，若選取適當的γ和α使得α'2＞0，由式(32)可以得出，，閉環系統的所有信號是有界的，‖e‖和‖~‖最終收斂到原點的一個由?1決定的鄰域內，實際上，最終收斂邊界由γ-1決定，選擇的γ越大，得到的最終收斂域就越小。

證畢。

由定理1可知，選取的γ越大，系統狀態和估計誤差的最終收斂域越小，但是，如果可測輸出中存在噪聲干擾，在高增益觀測器中，選取的高增益γ越大，噪聲被放大的也越大［13］。因此，在實際過程中，選取的γ值不宜過大。

3 仿真研究

為驗證所給出的控制方案的有效性，下面以某650 mm單機架可逆冷帶軋機液壓伺服位置控制系統為例進行仿真。仿真中所用的主要物理參數為:m=1 500 kg，A1=0.125 6 m2，A2=0.042 2 m2，ks=109N/m，Bp=2.25 ×106N·s/m，w=0.025，kv=1.25 ×10-4m/V，Cd=0.61，βe=7 ×108Pa，ps=24 MPa，pr=1 MPa，Ct=5 ×10-16m5/(N·s)，V10=3.768 ×10-3m3，V20=1.266 ×10-3m3，ρ=850 kg/m3。

仿真中選取的參數為:γ =10，α =209，cη2=102，β1=105，β2=107，β3=104，β4=2 000，β5=0.2。通過求解不等式(12)和(13)，可以解得

利用上面得到的數據，將構造的輸出反饋控制器式(8)～式(10)作用到原系統進行仿真，仿真結果如圖1～圖4所示。

從仿真結果圖可以看出，所構造的輸出反饋控制器能夠保證閉環系統的所有信號有界，系統狀態，及其估計值和估計誤差都收斂到原點附近的小鄰域內。具體地，從圖1(a)可以看出，系統跟蹤誤差在較短的時間內趨向于零，具有較好的跟蹤效果。

另外，各參數的估計值(如圖2所示)也收斂到其各自的允許范圍內，控制輸入(如圖3所示)和油缸壓力(如圖4所示)都收斂到其各自的穩定值。仿真結果驗證了定理1的結論。

圖1 誤差模型(7)的系統狀態，及其估計值和估計誤差Fig．1 System states of Error Model(7)，their estimates and estimation errors

圖2 未知參數的估計Fig．2 Estimates of the unknown parameters

圖3 控制輸入Fig．3 Control input

圖4 油缸壓力Fig．4 Pressure of the cylinders

4 結語

本文針對具有不可測狀態、未知參數和非線性的軋機液壓伺服位置系統，提出了一種基于高增益觀測器和參數估計器的自適應輸出反饋控制算法。通過選取適當的參數，系統跟蹤誤差可以收斂到原點的一個很小的鄰域內，鄰域的邊界依賴于高增益值，并且閉環系統的其他信號都有界。最后，以某650 mm可逆冷帶軋機液壓伺服位置控制系統為例進行仿真，仿真結果驗證了所提出算法的有效性。

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