高等數學運用數學模型案例教學路徑探究

翁 嘉

(福州英華職業學院 公共基礎部，福州 350018)

1 引言

數學是一門古老而又常新的學科。目前數學科學與計算機科學相互結合，相互滲透，發展迅速，使得其在整個科學技術中的基礎性地位得到進一步鞏固。而且數學科學已經突破了傳統理論框架和應用范圍，滲透到人類知識的各個領域中，對人類的物質生產和日常生活的貢獻越來越大。科學技術領域方面，不斷產生與數學相結合的新型交叉學科，如數學生物學、數學化學、數學地質學等，即使是那些傳統上被認為與數學無關的領域也與數學聯系在一起，出現了新的科學，如數學社會學、數學心理學等。此外，數學是人類文明不斷向前進步的標志，可以說是一種人類文化，社會中不管其學歷層次和從事的職業的文化人都必須受到數學的熏陶和教育。由于數學對社會的發展具有重要推動作用，因此社會對他們的需求非常迫切。然而，目前世界各國對數學的認識情況卻不容樂觀，存在較大問題。對于那些抽象的數學符號和高深莫測的理論等，很多人望而卻步，他們害怕學習數學，甚至不知道該怎么學習和理解數學，還有一些人雖然心里認同數學的作用，但無法真正理解數學，一些人干脆認為數學是少數人能夠玩的神秘游戲，對他們沒有絲毫作用。究其本質原因，認為這種困境和問題很大程度上是由我國現行的學校教育方式造成的。

2 高等數學教學過程中的弊端

現今大學高等數學教學主要側重于介紹概念、定理、專業定義，以及講解證明定理的過程和推導計算的過程。通過這個方式來傳授知識是無可厚非的，但它也存在一些問題，造成了現如今的困境：數學的重要性學生從小就明白，而且我國小學到大學都要學習數學，也明白通過數學可以訓練自己的思維，培養自己嚴密的推導能力，嚴謹的學習、辦事態度，但是很多人根本不知道在生活中運用所學習到的這些數學知識。數學的學習對他們來說只是一個由一些符號、計算推導和推理的游戲而已。學生唯一的目標就是上課認真聽講，按時完成老師布置的任務，從而順利通過考試，根本沒有想過如何應用這些數學知識。很多人對數學的實踐性和實用性認識不夠，沒有完全領悟數學知識潛在的價值，缺乏數學學習的動力。“數學無用”論和人們心中其他那些關于數學的不良意識和觀念日積月累，一直傳承，數學成了“空對空”導彈，給數學的學習帶來了嚴重的負面影響。此外，由于使用陳舊的教材、落后的教學方式、老師狹隘的知識修養等因素的影響，都在一定程度上影響著人們對數學的重要性、實用性等認識和觀念。

3 數學模型案例教學的創新運用

面對大學高等數學的現狀和困境，必須加快改革數學理念和教學方式的步伐。考慮到數學體系具有強烈的系統性和經典性，不可能對大學高等數學進行大刀闊斧的改革，但我們可以從小處入手，從局部進行探討和改變，做出一些有益的嘗試。

激發和提高學生對數學在日常生活中的重要性和應用性的認識對改變他們目前的觀念、培養他們對高等數學的興趣、提升他們學以致用的能力和意識具有重要的意義，是改革目前大學高等數學教學的關鍵。老師應當改變傳統的教學方式，除了講清、講透書本中的基本概念、定理、方法和定義之外，還需要在教學過程中運用那些與課堂教學內容有關的合理簡單的“數學模型案例”，這是一種非常有效的措施。數學模型是運用數學知識、方法等解決日常生活實際問題的橋梁和手段，這種面向現實、走進生活的案例教學能夠使學生產生直觀的、切身的認同感，徹底明白和領悟到在解決日常實際問題過程中數學工具的巨大作用和強大威力。

案例1：在高數微積分的學習中，筆者列舉出一個綜合性較強的案例：美國深海處理核廢料是否安全。具體問題是：美國政府將核廢料密裝于鉛桶后沉入海中，如果海水較深，鉛桶到達海底的速度過大，與堅硬的海底巖石碰撞破裂。如何論證鉛桶的安全性?由于背景新穎，能夠吸引學生的眼球，提高興致，激發他們的熱情。此問題可以直接轉化為求解日落速度，學生可以運用微積分的知識來考慮和求解。

(1)首先引導學生自主思考，明確這已不是初中學習熟知的自由落體運動，而是一種阻尼落體運動。這對于學生來說是一個全新的問題，該如何去描述下降過程中的運動規律，能激發他們探索新知的欲望。

(2)根據導數的物理意義，結合牛頓第二運動定律，建立下落運動方程：

式中：k表示空阻尼系數。老師告訴學生這是一種新的方程即常微分方程。

(4)問題進行到這步還沒結束，教師可引導學生明白兩個事實：

若已知海底的深度h，就能夠求解得到v。

(6)很難求出上述代數方程的解析解，與學生過去習題求解的教育相違背，有助于他們逐步體會到實際問題的求解過程中，其中任何一個環節不能參照理想化的普通習題求解，需要創新地運用特殊方法。這時可以順便給學生介紹下二分法怎么求解函數方程的數值解，同時也復習了零點存在定理。

這是一個綜合性非常強的例子，不僅能夠引發學生的興趣和注意力，還能使學生體會到高等數學可以解決實際問題。求解方程的過程中要求學生結合已熟悉的物理學意義還要努力學習積分、極限、符合函數求導甚至數值計算等相關知識。該方式有助于提高學生的自主學習能力，起到事半功倍的效果。

案例2：在講解如何判別無窮級數的斂散性時，筆者設計了一個有趣的游戲(如圖1所示)。

將相同木板按圖疊起來，是否存在木堆中的最上面一塊木板向右無限水平伸長而木堆不會倒塌的可能。感覺似乎不能做到，但需要我們運用簡單的物理知識建立模型進行論證：

根據圖中建立的坐標系，假設木堆不會倒塌時從上到下第n塊木板的重心橫坐標的表達式為：

4 運用數學模型案例教學的原則

“數學模型”案例在大學高等數學的教學過程中的運用一般應遵循以下幾個原則：

(1)最好設計和選用那些貼近日常生活實際的模型。使運用的這些模型符合實際，同時賦予給它們更多的趣味性和應用性。模型不應當過分專業，學生比較熟悉上課模型的背景知識，能夠更好地激發他們的學習興趣。如果能夠和其他專業的知識背景聯系起來，產生的教學效果就會更好，如給理工科學生上課時刻選擇那些與物理工程、化學工程相關的模型。

(2)數學模型在教學過程中是作為插件來運用的，其必須簡單，能夠在較短時間內就講解完。占用的時間不超過20～30分鐘為宜。

(3)模型建模和求解使用的方法最好是能聯系和結合本課程中的知識。通過該數學模型還能使學生加深和理解所學課程中知識的應用價值，消除他們心中的消極被動的學習情緒，激勵他們一步步學好該課程。

(4)教師須合理安排好習題課的進程，因為習題課中安排講解模型會取得更好的效果。花費足夠的時間來推導一個經典的數學模型對教學具有重要價值，起到拋磚引玉的作用。

(5)教師須精心處理模型的講解過程。數學案例模型不僅能夠起到推廣數學知識應用價值的作用，還在一定程度上附帶了人文藝術價值。安排得體、講解通俗，同時上課語言充滿幽默和風趣，內容充滿生活性和文化性，會給學生帶來耳目一新的感覺；老師講課時充滿親切感和輕松感，能夠緩解課堂原本相對沉悶的氣氛，調動學生的情緒，提高其學習興趣。

5 數學案例模型教學的積極作用

數學科學是一門關鍵、運用普遍并能授予人們能力和技術的學科，對經濟競爭十分重要。面對著我國目前大學高等數學教學中存在的問題和困境，必須改革數學教學方式，而樹立正確的數學觀是改革數學教育的關鍵因素。高校數學教學過程中教師要融入模型化的思想，給學生一種比較直觀的感受，同時更要引導學生自主去思考問題，能夠運用學過的建立模型方法解決實際問題，逐步培養他們的數學分析、計算、推理的能力，發展他們的創造力、觀察力等，提升學習熟練運用計算機和其他數學軟件的能力，這樣學習的數學知識才能真正變成他們的一個有力工具。此外，學校應倡導建模的理念，組織建模活動，引導學生發揮出他們的聰明才智，享受學以致用的快樂。

參考文獻：

[1]覃永晝.在數學分析課程的概念教學中滲透數學建模思想[J].考試，2011，(8).

[2]熊輝.數學模型在常規數學教學中的滲透[J].東莞理工學院學報，2008，(2).

[3]羅朝暉.關于數學建模思想滲入數學分析教學的思考[J].教育與職業，2007，(20).