例談構(gòu)造法解題

　　“構(gòu)造”本身需要靈活的思維方式，需要能理解數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，需要有敏銳的觀察能力、豐富的聯(lián)想力、巧妙的構(gòu)思、創(chuàng)造性的思維能力等。應(yīng)用構(gòu)造法需要弄清題設(shè)條件和結(jié)論的本質(zhì)特征，以便改變思維方式，重新進(jìn)行邏輯組合；要有明確的方向，即為達(dá)到什么目的而去“構(gòu)造”，肯于大跨度地進(jìn)行知識聯(lián)想，敢于大膽嘗試，有尋求巧思妙解的境界。
　　以下幾例說明了構(gòu)造法特別是構(gòu)造函數(shù)法在解題中的重要作用。
　　函數(shù)思想，是用運(yùn)動和變化的觀點(diǎn)，分析和研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的圖像和性質(zhì)去分析問題轉(zhuǎn)化問題，從而使問題獲得解決。函數(shù)思想是對函數(shù)概念的本質(zhì)認(rèn)識，用于指導(dǎo)解題就是善于利用函數(shù)知識或函數(shù)觀點(diǎn)觀察、分析和問題解決。
　　例1 設(shè)？琢，？茁分別是方程log2x+x-3=0和2x+x-3=0的根，則？琢+？茁=___，log2？琢+2？茁_____。
　　解答：由題設(shè)得log2？琢+？琢=3，2？茁+？茁=3；
　　由log2？琢+？琢=3得log2？琢=3-？琢，即？琢=23-？琢。
　　∴（3-？琢）+23-？琢 =3。 ①
　　又2？茁+？茁=3，得2？茁=3-？茁。 ②
　　構(gòu)造函數(shù)f（x）=x+2x，由①、②知f（3-？琢）=f（？茁），又f（x）在R上嚴(yán)格遞增，
　　∴3-？琢=？茁即？琢+？茁=3。
　　∴l(xiāng)og2？琢+2？茁=（3-？琢）+（3-？茁）=3。
　　例2 當(dāng)m∈N，若關(guān)于x的方程mx2+2（2m-1）x+4m-7=0（m∈N）至少有一整數(shù)根，則m=____。
　　分析：若用求根公式解出x=后，再討論x的整數(shù)取值將較為繁難，現(xiàn)不妨把m表示成x的函數(shù)，用函數(shù)思想求解之。
　　解答：原方程可變形為m（x+2）2=2x+
　　7，顯然，當(dāng)x=-2時，原方程不成立，故m=。（x≠-2） （*）
　　由m為正整數(shù)知 ≥1，
　　解得x∈{-3，-1，0，1}。
　　將x的四個取值逐個代入（*），可得到滿足條件的m=1或5。
　　例3 設(shè)p=（log2x）2+（t-2）log2x-t+1，若t在區(qū)間[-2，2]上變動時，p恒為正值，則x的取值范圍是_____。
　　分析：條件中有多個變量，t與p的變化范圍已給出，構(gòu)造函數(shù)p=f（t）=（log2x-1）t+（log2x-1）2。
　　已知-2≤t≤2，限定p=f（t）>0？圳pmin>0。
　　解答：令p=f（t）=（log2x-1）t+（log2x-1）2，
　　（1）當(dāng)x>2時，log2x-1>0，p=f（t）在[-2，2]上是增函數(shù)，pmin=f（-2）=（log2x）-4log2x+3。
　　由（log） x>2-4log2x+3>0 ， 解得x>8。
　　（2）當(dāng)0　　由（log）00，解得0　　∴ x的取值范圍為（0，）∪（8，+∞）。
　　例4 解方程3x+4x=5x。
　　解答：原方程可化為（）x+（）x=1。
　　構(gòu)造函數(shù)f（x）=（）x+（）x，易知f（x）在R上嚴(yán)格遞減，且f（2）=1，由f（x）=f（2）知，原方程有唯一解x=2。
　　例5 解不等式++x3+5x>0。
　　分析：按常規(guī)解法，需化成六次不等式，不易求解，若將原不等式變形，利用函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性可轉(zhuǎn)化為簡單不等式求解。
　　解答：原不等式變形為（）3+5（）>-（x3+5x）。
　　構(gòu)造函數(shù)f（x）=x3+5x，則f（）>-f（x）。
　　∵ f（-x）=（-x）3+5（-x）=-（x3+5x）=-f（x），
　　∴f（）>f（-x），>-x。
　　解得x>-1。
　　故原不等式的解集為{x？誆x>-1}。
　　從以上幾例的解答中，我們已初步看到了函數(shù)思想的應(yīng)用相當(dāng)廣泛，但這些方面都涉及到最基礎(chǔ)的知識，只要我們在學(xué)習(xí)中扎扎實(shí)實(shí)地掌握基礎(chǔ)知識，學(xué)會全面地分析問題，并注意在解題中不斷總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，就一定會真正掌握運(yùn)用函數(shù)思想解題的思路和方法，從而收到事半功倍的效果。用函數(shù)的觀點(diǎn)加以分析，常能使問題變得明了，從而易于找到一種科學(xué)的解題途徑。現(xiàn)實(shí)世界的復(fù)雜性決定了數(shù)量關(guān)系的多元性。因此，如何從多變元的數(shù)量關(guān)系中選定合適的主變元，從而揭示其中主要的函數(shù)關(guān)系，有時便成了數(shù)學(xué)問題能否“明朗化”的關(guān)鍵所在。理解和掌握函數(shù)的思想方法有助于實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)從常量到變量的這個認(rèn)識上的飛躍。
　　例6 已知x、y、z>0，且x2+y2+xy=1，y2+z2+yz=3，z2+x2+zx=4，求xy+yz+zx的值。
　　解答：三個條件式化為x2+y2-2xycos1200=12，z2+y2-2zycos1200=（）2，x2+z2-
　　2xzcos1200=22。
　　條件式的結(jié)構(gòu)類似余弦定理，且條件式右邊的常數(shù)具有12+（）2=22的特征。于是可構(gòu)造直角三角形ABC，使∠C=900，ac=1，BC=，則AB=2，在直角三角形ABC內(nèi)作一點(diǎn)D，使∠ADB=∠BDC=∠CDA=1200，且AD=X，CD=y，BD=z。
　　∵ S△ADC+S△CDB+S△BDA=S△ABC，
　　∴xysin1200+yzsin1200+zxsin1200
　　=×1×，即 xy+yz+zx=2。
　　例7 設(shè)x>0，y>0，z>0，求證：
　　+>。
　　分析：這是一個代數(shù)不等式的證明問題，從代數(shù)式的結(jié)構(gòu)x2+y2-2xycos600=x2-xy
　　+y2可以發(fā)現(xiàn)它有立體幾何圖形的背景。
　　證明：構(gòu)造四面體V-ABC，使∠AVB=∠BVC=∠CVA=600，且VA=x，VB=y，VC=z，由余弦定理有AB==。同理，BC=，CA=。
　　在△ABC中，由于AB+BC>AC，故有+>。
　　一般來講，代數(shù)問題較為抽象，若能通過構(gòu)造將之合理轉(zhuǎn)化為幾何問題，利用“數(shù)形結(jié)合”這一重要思想方法，往往可增強(qiáng)問題的直觀性，使解答事半功倍。
　　從以上各例不難看出，構(gòu)造法是一種極富技巧性和創(chuàng)造性的解題方法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)、類比、化歸的思想，也滲透著猜想、探索、特殊化等重要的數(shù)學(xué)方法。
　　（通渭縣碧玉鄉(xiāng)碧玉初級中