例談構造法解題

　　“構造”本身需要靈活的思維方式，需要能理解數學問題的本質，需要有敏銳的觀察能力、豐富的聯想力、巧妙的構思、創造性的思維能力等。應用構造法需要弄清題設條件和結論的本質特征，以便改變思維方式，重新進行邏輯組合；要有明確的方向，即為達到什么目的而去“構造”，肯于大跨度地進行知識聯想，敢于大膽嘗試，有尋求巧思妙解的境界。
　　以下幾例說明了構造法特別是構造函數法在解題中的重要作用。
　　函數思想，是用運動和變化的觀點，分析和研究數學中的數量關系，建立函數關系或構造函數，運用函數的圖像和性質去分析問題轉化問題，從而使問題獲得解決。函數思想是對函數概念的本質認識，用于指導解題就是善于利用函數知識或函數觀點觀察、分析和問題解決。
　　例1 設？琢，？茁分別是方程log2x+x-3=0和2x+x-3=0的根，則？琢+？茁=___，log2？琢+2？茁_____。
　　解答：由題設得log2？琢+？琢=3，2？茁+？茁=3；
　　由log2？琢+？琢=3得log2？琢=3-？琢，即？琢=23-？琢。
　　∴（3-？琢）+23-？琢 =3。 ①
　　又2？茁+？茁=3，得2？茁=3-？茁。 ②
　　構造函數f（x）=x+2x，由①、②知f（3-？琢）=f（？茁），又f（x）在R上嚴格遞增，
　　∴3-？琢=？茁即？琢+？茁=3。
　　∴log2？琢+2？茁=（3-？琢）+（3-？茁）=3。
　　例2 當m∈N，若關于x的方程mx2+2（2m-1）x+4m-7=0（m∈N）至少有一整數根，則m=____。
　　分析：若用求根公式解出x=后，再討論x的整數取值將較為繁難，現不妨把m表示成x的函數，用函數思想求解之。
　　解答：原方程可變形為m（x+2）2=2x+
　　7，顯然，當x=-2時，原方程不成立，故m=。（x≠-2） （*）
　　由m為正整數知 ≥1，
　　解得x∈{-3，-1，0，1}。
　　將x的四個取值逐個代入（*），可得到滿足條件的m=1或5。
　　例3 設p=（log2x）2+（t-2）log2x-t+1，若t在區間[-2，2]上變動時，p恒為正值，則x的取值范圍是_____。
　　分析：條件中有多個變量，t與p的變化范圍已給出，構造函數p=f（t）=（log2x-1）t+（log2x-1）2。
　　已知-2≤t≤2，限定p=f（t）>0？圳pmin>0。
　　解答：令p=f（t）=（log2x-1）t+（log2x-1）2，
　?。?）當x>2時，log2x-1>0，p=f（t）在[-2，2]上是增函數，pmin=f（-2）=（log2x）-4log2x+3。
　　由（log） x>2-4log2x+3>0 ， 解得x>8。
　?。?）當0　　由（log）00，解得0　　∴ x的取值范圍為（0，）∪（8，+∞）。
　　例4 解方程3x+4x=5x。
　　解答：原方程可化為（）x+（）x=1。
　　構造函數f（x）=（）x+（）x，易知f（x）在R上嚴格遞減，且f（2）=1，由f（x）=f（2）知，原方程有唯一解x=2。
　　例5 解不等式++x3+5x>0。
　　分析：按常規解法，需化成六次不等式，不易求解，若將原不等式變形，利用函數的奇偶性，單調性可轉化為簡單不等式求解。
　　解答：原不等式變形為（）3+5（）>-（x3+5x）。
　　構造函數f（x）=x3+5x，則f（）>-f（x）。
　　∵ f（-x）=（-x）3+5（-x）=-（x3+5x）=-f（x），
　　∴f（）>f（-x），>-x。
　　解得x>-1。
　　故原不等式的解集為{x？誆x>-1}。
　　從以上幾例的解答中，我們已初步看到了函數思想的應用相當廣泛，但這些方面都涉及到最基礎的知識，只要我們在學習中扎扎實實地掌握基礎知識，學會全面地分析問題，并注意在解題中不斷總結經驗，就一定會真正掌握運用函數思想解題的思路和方法，從而收到事半功倍的效果。用函數的觀點加以分析，常能使問題變得明了，從而易于找到一種科學的解題途徑。現實世界的復雜性決定了數量關系的多元性。因此，如何從多變元的數量關系中選定合適的主變元，從而揭示其中主要的函數關系，有時便成了數學問題能否“明朗化”的關鍵所在。理解和掌握函數的思想方法有助于實現數學從常量到變量的這個認識上的飛躍。
　　例6 已知x、y、z>0，且x2+y2+xy=1，y2+z2+yz=3，z2+x2+zx=4，求xy+yz+zx的值。
　　解答：三個條件式化為x2+y2-2xycos1200=12，z2+y2-2zycos1200=（）2，x2+z2-
　　2xzcos1200=22。
　　條件式的結構類似余弦定理，且條件式右邊的常數具有12+（）2=22的特征。于是可構造直角三角形ABC，使∠C=900，ac=1，BC=，則AB=2，在直角三角形ABC內作一點D，使∠ADB=∠BDC=∠CDA=1200，且AD=X，CD=y，BD=z。
　　∵ S△ADC+S△CDB+S△BDA=S△ABC，
　　∴xysin1200+yzsin1200+zxsin1200
　　=×1×，即 xy+yz+zx=2。
　　例7 設x>0，y>0，z>0，求證：
　　+>。
　　分析：這是一個代數不等式的證明問題，從代數式的結構x2+y2-2xycos600=x2-xy
　　+y2可以發現它有立體幾何圖形的背景。
　　證明：構造四面體V-ABC，使∠AVB=∠BVC=∠CVA=600，且VA=x，VB=y，VC=z，由余弦定理有AB==。同理，BC=，CA=。
　　在△ABC中，由于AB+BC>AC，故有+>。
　　一般來講，代數問題較為抽象，若能通過構造將之合理轉化為幾何問題，利用“數形結合”這一重要思想方法，往往可增強問題的直觀性，使解答事半功倍。
　　從以上各例不難看出，構造法是一種極富技巧性和創造性的解題方法，體現了數學中發現、類比、化歸的思想，也滲透著猜想、探索、特殊化等重要的數學方法。
　　（通渭縣碧玉鄉碧玉初級中