策略引領 理性探索 自我監控

　　摘 要：數學解題教學要重視思維過程，強調數學解答“是怎么想到的？”“為什么這么想？這么做？”教師在平時解題中需要對題目作一些分析，理清求解思路的來源、求解方法與所用的知識點。
　　關鍵詞：學生；解題；立體幾何
　　本文是筆者對立體幾何最值問題求解的心路歷程，記下它是為了在教學中更好地向學生重現思考過程。
　　例題：如圖1，ι⊥α平面，垂足為O，△ABC中∠ABC為直角，AB=2，BC=1，該直角三形作符合以下自由運動：（1）A∈ι、（2）B∈α，則C、O兩點間距離的最大值為（ ）。
　　A.2+ B.1+
　　C.2+ D.1+
　　一、求解過程
　　1. 審題分析
　　分析題意：本題中△ABC處于運動狀態，但不是無規律的運動，從“動”與“不動”要素分析，不動的要素是直線ι與平面α；動的要素是A、B、C三點。動的方式是點A上直線ι上動，B在平面α上動，點C被動地隨著A、B的運動而動。
　　2. 基本策略
　　這是一個動態的空間圖形，分析有難度。對于多元素運動問題盡量讓一些要素不動，可先考慮A、B不動，僅C點動。先記∠BAO=θ，暫作為定角處理。
　　3. 解題猜測
　　如果本題取到最值時是一個比較特殊的位置，那么對于解題者
　　而言最理想的位置在哪？
　　筆者猜測△ABC與直線
　　ι共面時C、O距離取到
　　最大值（如圖2）。按照假設求解：
　　4. 證明過程
　　嘗試一：分析三棱錐
　　A-OBC圖形特征（如圖3）
　　與平面投影關系列式求解。
　　分析△ABC在旋轉，無法找
　　到這個建立關系式的方式，嘗試失敗。
　　反思：退回到策略分析，思考是否存在策略的導向性錯誤，要解決這個“多動”問題，該策略是動態圖像直觀理解的好策略。思考是否存在某個條件沒有挖掘呢？條件∠ABC為直角在剛才的嘗試中沒有用武之地。
　　嘗試二：條件∠ABC為直角作用是什么？針對圖形（圖4）分析，△ABC繞著邊AB旋轉圖形是圓錐，點C的軌跡是以B為圓心半徑為1的圓。分析： OO'⊥⊙B，CO=，點C在⊙B上動，則問題轉化到O'與⊙B上哪一點距離最大問題？如圖5所示C在直線O'B與⊙B圓的交點（離O'遠的那個點）取到最大值。
　　解答二：如圖6，CO==，=
　　=1+
　　與猜測一致。
　　5. 解后反思
　　（1）從嘗試二中分析，確如猜測，當△ABC與直線ι共面時，C、O距離為最大。解答一與解答二是在不同圖形下的求解過程，答案相同、殊途同“解”，更進一步說明答案的正確性。
　　（2）同理可求C、O兩點間距離最小值。（取到最小值時如圖7、圖8所示）
　　二、解題啟示
　　1. 解題策略與方法的指導
　　數學解題策略能夠把握一個數學問題的全局。在本題求解中，對于多要素運動問題，如果我們無法從復雜的動態空間圖形中分析出一個具體的式子，就必須要把本題的“三動”問題處理出成“兩動”問題或更理想的“單動”問題，既使在后續的求解中遇到困難，最后仍要堅定此策略是基本策略。同時，我們要遵循此策略去找尋條件的突破，分析有沒有將條件用盡或用對？最終會發現條件為直角沒有使用，該條件的使用突破以后，問題就會很快解決。在平時的教學中，我們要經常告訴學生解題的基本策略：復雜（未知）問題轉化為簡單（已知）問題、多元問題應在消元處理、空間問題化為平面問題處理等，讓學生能在策略引導下有目標地去解題，以免出現“信馬由韁”、盲目亂撞的情況。
　　2. 解題過程能自我監控
　　在解題策略指導下，我們要把握問題的難點，分析困難產生的原因并思考處理方法。波利亞告誡我們：“無論如何，我們應該感謝所有的念頭，感謝那些次要的念頭，也感謝那些模糊的念頭，也感謝那些模糊念頭得以糾正的補充性念頭。”自我監控參與解題，就是對自己的解題進行計劃、管理、檢驗、猜測、調節、評價。因此，我們要積極探索已知和未知的聯系，把相關的信息與不相關的信息區分開，把潛在的彼此相關的信息放在一起，將新信息與記憶中已儲存的舊信息建立關聯；根據對解題結果的檢查，對存在的問題采取可行的補救措施；在得到解題的結論后，對解題的思路進行檢驗和自我評價，探討成功與教訓，提出新的問題，提煉出解決一類問題的方法。
　　3. 對于數學解題要“想得美”
　　數學解題活動要通過觀察、分析、綜合、猜想、類比、歸納、應用、模式等數學思維活動，特別是當思路不明朗時，要通過猜想問題的可能答案、求解方式，以此為出發點，來探索、嘗試解題。龐加萊曾說過：“沒有假設，數學將永遠寸步難行。”數學解題需要猜想問題的可能答案、求解方式。許多數學問題有很好的結論與結果，教師要在平時教學時鼓勵學生大膽地猜想，在預期的答案或結果的引領下，幫助他們有目標地去快速解題。
　　4. 解題完成以后要及時反思
　　波利亞在指出學生解題后的現狀時說：“即便是相當優秀的學生，在得到了題目的解答并將整個論證簡潔地寫下來以后，也會合上書去找其他的事做。”因此，教師讓解題反思成為一種習慣，不僅能提高自身解題能力，而且能夠在課堂中更清楚地“想”給學生聽。這樣，學生在教師的長期“想法”的指導下，就會慢慢地學會“想”與 “做”題。
　　參考文獻：
　　[1]謬林.目標引領，理性探索[J].中學數學教學參考（上旬）2011（11）.
　　[2]李廣修.數學解題自我監控的實踐[J].中學數學教學參考（上旬），2007（Z1）.
　　（浙江嵊州黃澤中