策略引領(lǐng) 理性探索 自我監(jiān)控

　　摘 要：數(shù)學(xué)解題教學(xué)要重視思維過(guò)程，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)解答“是怎么想到的？”“為什么這么想？這么做？”教師在平時(shí)解題中需要對(duì)題目作一些分析，理清求解思路的來(lái)源、求解方法與所用的知識(shí)點(diǎn)。
　　關(guān)鍵詞：學(xué)生；解題；立體幾何
　　本文是筆者對(duì)立體幾何最值問(wèn)題求解的心路歷程，記下它是為了在教學(xué)中更好地向?qū)W生重現(xiàn)思考過(guò)程。
　　例題：如圖1，ι⊥α平面，垂足為O，△ABC中∠ABC為直角，AB=2，BC=1，該直角三形作符合以下自由運(yùn)動(dòng)：（1）A∈ι、（2）B∈α，則C、O兩點(diǎn)間距離的最大值為（ ）。
　　A.2+ B.1+
　　C.2+ D.1+
　　一、求解過(guò)程
　　1. 審題分析
　　分析題意：本題中△ABC處于運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，但不是無(wú)規(guī)律的運(yùn)動(dòng)，從“動(dòng)”與“不動(dòng)”要素分析，不動(dòng)的要素是直線ι與平面α；動(dòng)的要素是A、B、C三點(diǎn)。動(dòng)的方式是點(diǎn)A上直線ι上動(dòng)，B在平面α上動(dòng)，點(diǎn)C被動(dòng)地隨著A、B的運(yùn)動(dòng)而動(dòng)。
　　2. 基本策略
　　這是一個(gè)動(dòng)態(tài)的空間圖形，分析有難度。對(duì)于多元素運(yùn)動(dòng)問(wèn)題盡量讓一些要素不動(dòng)，可先考慮A、B不動(dòng)，僅C點(diǎn)動(dòng)。先記∠BAO=θ，暫作為定角處理。
　　3. 解題猜測(cè)
　　如果本題取到最值時(shí)是一個(gè)比較特殊的位置，那么對(duì)于解題者
　　而言最理想的位置在哪？
　　筆者猜測(cè)△ABC與直線
　　ι共面時(shí)C、O距離取到
　　最大值（如圖2）。按照假設(shè)求解：
　　4. 證明過(guò)程
　　嘗試一：分析三棱錐
　　A-OBC圖形特征（如圖3）
　　與平面投影關(guān)系列式求解。
　　分析△ABC在旋轉(zhuǎn)，無(wú)法找
　　到這個(gè)建立關(guān)系式的方式，嘗試失敗。
　　反思：退回到策略分析，思考是否存在策略的導(dǎo)向性錯(cuò)誤，要解決這個(gè)“多動(dòng)”問(wèn)題，該策略是動(dòng)態(tài)圖像直觀理解的好策略。思考是否存在某個(gè)條件沒(méi)有挖掘呢？條件∠ABC為直角在剛才的嘗試中沒(méi)有用武之地。
　　嘗試二：條件∠ABC為直角作用是什么？針對(duì)圖形（圖4）分析，△ABC繞著邊AB旋轉(zhuǎn)圖形是圓錐，點(diǎn)C的軌跡是以B為圓心半徑為1的圓。分析： OO'⊥⊙B，CO=，點(diǎn)C在⊙B上動(dòng)，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化到O'與⊙B上哪一點(diǎn)距離最大問(wèn)題？如圖5所示C在直線O'B與⊙B圓的交點(diǎn)（離O'遠(yuǎn)的那個(gè)點(diǎn)）取到最大值。
　　解答二：如圖6，CO==，=
　　=1+
　　與猜測(cè)一致。
　　5. 解后反思
　　（1）從嘗試二中分析，確如猜測(cè)，當(dāng)△ABC與直線ι共面時(shí)，C、O距離為最大。解答一與解答二是在不同圖形下的求解過(guò)程，答案相同、殊途同“解”，更進(jìn)一步說(shuō)明答案的正確性。
　　（2）同理可求C、O兩點(diǎn)間距離最小值。（取到最小值時(shí)如圖7、圖8所示）
　　二、解題啟示
　　1. 解題策略與方法的指導(dǎo)
　　數(shù)學(xué)解題策略能夠把握一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的全局。在本題求解中，對(duì)于多要素運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，如果我們無(wú)法從復(fù)雜的動(dòng)態(tài)空間圖形中分析出一個(gè)具體的式子，就必須要把本題的“三動(dòng)”問(wèn)題處理出成“兩動(dòng)”問(wèn)題或更理想的“單動(dòng)”問(wèn)題，既使在后續(xù)的求解中遇到困難，最后仍要堅(jiān)定此策略是基本策略。同時(shí)，我們要遵循此策略去找尋條件的突破，分析有沒(méi)有將條件用盡或用對(duì)？最終會(huì)發(fā)現(xiàn)條件為直角沒(méi)有使用，該條件的使用突破以后，問(wèn)題就會(huì)很快解決。在平時(shí)的教學(xué)中，我們要經(jīng)常告訴學(xué)生解題的基本策略：復(fù)雜（未知）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單（已知）問(wèn)題、多元問(wèn)題應(yīng)在消元處理、空間問(wèn)題化為平面問(wèn)題處理等，讓學(xué)生能在策略引導(dǎo)下有目標(biāo)地去解題，以免出現(xiàn)“信馬由韁”、盲目亂撞的情況。
　　2. 解題過(guò)程能自我監(jiān)控
　　在解題策略指導(dǎo)下，我們要把握問(wèn)題的難點(diǎn)，分析困難產(chǎn)生的原因并思考處理方法。波利亞告誡我們：“無(wú)論如何，我們應(yīng)該感謝所有的念頭，感謝那些次要的念頭，也感謝那些模糊的念頭，也感謝那些模糊念頭得以糾正的補(bǔ)充性念頭。”自我監(jiān)控參與解題，就是對(duì)自己的解題進(jìn)行計(jì)劃、管理、檢驗(yàn)、猜測(cè)、調(diào)節(jié)、評(píng)價(jià)。因此，我們要積極探索已知和未知的聯(lián)系，把相關(guān)的信息與不相關(guān)的信息區(qū)分開(kāi)，把潛在的彼此相關(guān)的信息放在一起，將新信息與記憶中已儲(chǔ)存的舊信息建立關(guān)聯(lián)；根據(jù)對(duì)解題結(jié)果的檢查，對(duì)存在的問(wèn)題采取可行的補(bǔ)救措施；在得到解題的結(jié)論后，對(duì)解題的思路進(jìn)行檢驗(yàn)和自我評(píng)價(jià)，探討成功與教訓(xùn)，提出新的問(wèn)題，提煉出解決一類問(wèn)題的方法。
　　3. 對(duì)于數(shù)學(xué)解題要“想得美”
　　數(shù)學(xué)解題活動(dòng)要通過(guò)觀察、分析、綜合、猜想、類比、歸納、應(yīng)用、模式等數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，特別是當(dāng)思路不明朗時(shí)，要通過(guò)猜想問(wèn)題的可能答案、求解方式，以此為出發(fā)點(diǎn)，來(lái)探索、嘗試解題。龐加萊曾說(shuō)過(guò)：“沒(méi)有假設(shè)，數(shù)學(xué)將永遠(yuǎn)寸步難行。”數(shù)學(xué)解題需要猜想問(wèn)題的可能答案、求解方式。許多數(shù)學(xué)問(wèn)題有很好的結(jié)論與結(jié)果，教師要在平時(shí)教學(xué)時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生大膽地猜想，在預(yù)期的答案或結(jié)果的引領(lǐng)下，幫助他們有目標(biāo)地去快速解題。
　　4. 解題完成以后要及時(shí)反思
　　波利亞在指出學(xué)生解題后的現(xiàn)狀時(shí)說(shuō)：“即便是相當(dāng)優(yōu)秀的學(xué)生，在得到了題目的解答并將整個(gè)論證簡(jiǎn)潔地寫下來(lái)以后，也會(huì)合上書(shū)去找其他的事做。”因此，教師讓解題反思成為一種習(xí)慣，不僅能提高自身解題能力，而且能夠在課堂中更清楚地“想”給學(xué)生聽(tīng)。這樣，學(xué)生在教師的長(zhǎng)期“想法”的指導(dǎo)下，就會(huì)慢慢地學(xué)會(huì)“想”與 “做”題。
　　參考文獻(xiàn)：
　　[1]謬林.目標(biāo)引領(lǐng)，理性探索[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬）2011（11）.
　　[2]李廣修.數(shù)學(xué)解題自我監(jiān)控的實(shí)踐[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2007（Z1）.
　　（浙江嵊州黃澤中