信息技術輔助數學教學實驗的嘗試

　　摘 要：通過計算機的高速計算解決“等分圓”這一常見的數學問題，探索應用現代教學媒體解決實際問題中的途徑，實施現代教育技術課堂教學改變傳統教學模式的嘗試，使現代教育技術與課堂理論學習緊密的結合在一起。此次數學教學實驗的嘗試，學生學會了分析和解決數學問題的思路，能提高學生學習、解決數學應用型問題的興趣，改善教學質量的方法和模式，為現代教育技術支持下的中學數學教學改革提供參考依據。
　　關鍵詞：現代教育技術；數學教學實驗；課堂教學改革
　　日常數學教學過程中，一直以來都處于教師講、學生練的方式，學生都是被動地接受知識。那么數學能不能像物理、化學等科目一樣，讓學生自己動手“數學實驗”呢？隨著計算機的日趨普及和計算機技術的飛速發展，現代教育技術已在課堂教學中得以廣泛的使用，學生通過計算機做數學實驗已經不是夢想（比較著名的CAI軟件有國內的“數學實驗室”和國外的“幾何畫板”等）。我們可以借助計算機的強大計算功能和演示功能，幫助我們分析問題、解決問題。下面是師生一起嘗試著用計算機來解決“等分圓”這一問題的實例。
　　學生在學習過程中會發現這樣的問題：用圓的半徑在圓上順次畫六道圓弧恰好可以首尾重合，剛好將圓6等分；如果將圓弧半徑增大或減小一些，畫首尾相連的圓弧，這些圓弧最終是否能重合呢？我們師生仔細分析并討論了這個問題（作圖過程如圖1）：
　　（1）以任意圓O（半徑為R）上任意一點O1為圓心，R'（ 0< R' <2R ）為半徑，作圓弧a1交圓O于O0、O2；
　　（2）以O2為圓心，
　　R'為半徑，作圓弧a2
　　交圓O于O1、O3；
　　（3） ……
　　這樣一直下去，是否會存在某條圓弧會經過O1呢？如果存在，那么我們所選的半徑R'剛好能夠等分已知圓，半徑R'與已知圓的半徑R有聯系嗎？又有何聯系？通過師生共同探討，得出以下兩種方案。
　　方案一：
　　以點O作為原點（如圖2），設圓弧a1 的圓心O1坐標為（0，1），則由解析幾何知識容易知道，點On-1（xn-1，yn-1）和點On+1（xn+1，yn+1）滿足方程組（n）：
　　x2+y2=1
　　（x-xn）2+（y-yn）2=r2 …………（n）
　　上面的方程組，我們可以用“迭代”的方法，計算（xn+1，yn+1），但是是否存在點On+1（xn+1，yn+1）與點O1 （x1，y1）重合呢？如果有（xn+1，yn+1）=（0，1），則我們所選的半徑R'能夠等分已知圓。雖然上面這些方程組只是一些普通的二次方程，但實際上，解這些方程卻遠遠比我們所想象的要困難得多，基本上無法完成。隨后，雖然我們借助計算機，但這些方程的解仍然是求解過程中遇到的最大障礙。
　　下面換一種思路求解問題。從上面的方程組容易得到Ok（xk，yk）和Ok+1（xk+1，yk+1）有如下關系，
　　第k段圓弧的圓心Ok（xk，yk）和Ok+1（xk+1，yk+1）滿足方程組（k）：
　　x+y=1x+y=1（x-x）+（y-y）=r…………（K）
　　解得，x=y=
　　通過計算機，運用程序，能夠很容易計算出Ok+1（xk+1，yk+1），然后判斷Ok+1（xk+1，yk+1）是否等于（0，1）就能知道答案了！學生經過多次試驗發現：基本上所有的R'作圓弧，都不能等分已知圓，真實情況就是如此嗎？
　　方案二：
　　順次連接圓弧與圓O的交點，顯然一段弦對應著一個圓心角α。如果 nα=2kπ（n∈N*，k∈N*），也就是n段弦所對的圓心角的和剛好等于圓周的k倍時，圓O被n等分。
　　即：當是有理數
　　時，圓O被n等分（如圖2）。
　　證明：若是有理數，
　　則存在n∈N*，k∈N*，
　　使=，
　　從而，nα=2kπ，圓O被n等分；
　　否則，任意取 n∈N*，k∈N*，無理數±，則 nα≠2kπ，圓O不被n等分。
　　此時：R'=2sin=2sinn∈N*，k∈N*）。
　　結論：當R' =2sin=2sinn∈N*，k∈N*），即是有理數時，圓O能被圓弧n等分，這些圓弧最終能夠重合。
　　在此次數學教學實驗的過程中，我們充分應用現代教育技術為教學服務，讓學生保持著濃厚的學習興趣，不把學習數學看成負擔，增強了學好數學的信心，享受著學習數學的樂趣，對發展學生的思維能力、開發智力、促進素質教育有著不可忽視的作用。數學的結論來源于學生的制作，對現象的觀察，對數據的度量、統計與分析。實驗中，我們看到了學生的自主探究的能力是很有潛力的；學生也認識到計算機在數學學習中的作用，可以利用計算機為自己的學習服務，同時也能把部分學生從“電腦游戲”和“網絡”中解脫出來。
　　“數學教學實驗”打破了傳統的數學課堂“講、練、記”的教學模式，學生可以更直接地參與到課堂教學中，教師可以更充分地調動學生的積極性，培養學生自主學習，充分發揮學生的才智，從而取得很好的教學效果。同時在數學教學中，教師要注重實踐活動，強化動手操作，不要把學生的思維長期“禁錮”在書本上，要向廣闊的大自然擴展。通過多種能力培養，把學生造就成適應社會發展的強能力人才；通過加強各種素質訓練，使學生成為21世紀高素質人才。把“數學教學實驗”引入到中學數學教學中來，對中學數學課程教育改革必將起到重要而深遠的影響。
　　參考文獻：
　　[1]何克抗.現代教育技術[M].北京：北京師
　　范大學出版社，1998.
　　[2]張君達，郭春彥.數學教育實驗設計[M].
　　上海：上海教育出版社，1994.
　　[3]田萬海.數學教育學[M].杭州：浙江教育
　　出版社，1993.
　　（張家港工貿職業高級中