領悟思想方法 解答概率問題

〔關鍵詞〕 數學教學；概率；互補思想；方程思想；函

數思想；分類討論思想；整體思想

〔中圖分類號〕 G633.6 〔文獻標識碼〕 A

〔文章編號〕 1004—0463（2012）14—0085—０1

數學思想方法是數學知識的精髓，是知識轉化為能力的橋梁，能否正確地運用數學思想方法解答數學問題是衡量數學素質和數學能力的標志.概率是新教材中新增的內容，其中蘊涵了許多重要的數學思想，在概率解題中注重數學思想方法的滲透，對正確解題具有十分重要的意義.

一、 互補思想

互補思想就是通過間接法，利用對立事件求隨機變量的概率.

例1甲、乙、丙三人向同一目標各射擊一次，若甲、乙、丙三人擊中目標的概率分別是0.8、0.7、0.6，試問此目標被擊中的概率是多少?

分析：符合題意的情況包括：（1）三人中有一人擊中目標；（2）三人中有兩人擊中目標；（3）三人都擊中目標。三大類共七種情形，分別求之相當繁瑣.而題設反面“三人都未擊中目標”只有一種情形，故利用互補思想，通過求其對立事件的概率解答此題顯得尤為簡便.

解：設A1={甲擊中目標}，A2={乙擊中目標}，A3={丙擊中目標}，A={目標被擊中}，P(A)=1-P(A1?A2?A3)=1-P(A1)?P(A2)?P(A3)=1-(1-0.8)(1-0.7)(1-0.6)=0.976.

二、 方程思想

方程思想，就是分析數學問題中的變量間的等量關系，從而建立方程或者方程組，通過解方程或方程組，或者運用方程根的性質去分析、轉化問題，使問題獲得解決.

例2 甲乙兩人獨立解出某一道數學題的概率相同，已知該題被甲和乙解出的概率為0.36，求甲獨立解出該題的概率.

解：設甲或乙獨立解出的概率為x，則該題不能被甲或乙解出的概率為 (1-x)2，由題意可得方程：1-(1-x)2=0.36，解得x=0.2.故甲獨立解出該題的概率為0.2.

三、 函數思想

利用函數思想，就是將離散型隨機變量融入連續型模型中，是隨機現象中的數量規律建立在函數關系的基礎上，進而利用函數的觀點解決問題.

例3 多向飛碟是奧運會的競賽項目，它是由跑靶機把碟靶（射擊目標）在一定范圍內從不同方向飛出，每拋出一個碟靶，都允許運動員射擊兩次.一運動員在進行多向飛碟射擊訓練時，每一次射擊命中碟靶的概率Ｐ與運動員離碟靶的距離s（m）成反比，現有一碟靶拋出后離運動員的距離s（m）與飛行時間t（秒）滿足s＝１５（t+1）（０≤t≤４）.若運動員在碟靶飛出0.5秒時進行第一次射擊，命中的概率為0.8，若他發現沒有命中，則通過迅速調整，在第一次射擊后再經過0.5秒進行第二次射擊，求他命中此碟靶的概率.

解：設Ｐ＝（k為常數），則Ｐ＝（０≤t≤４）.依題意，當t=0.5秒時，Ｐ１＝0.8，則k=18.當t=1秒時，Ｐ２=0.6.則此人命中此碟靶的概率Ｐ＝Ｐ１＋（１－Ｐ１）Ｐ２＝0.8+（1-0.8）×0.6=0.92.

四、 分類討論思想

分類討論的思想方法，實質就是把整體問題分類轉化為局部問題.在分類時，要注意防止邏輯上的錯誤，避免疏漏與重復.

例4 一學生騎自行車上學，從家中到學校的途中有兩個交通崗.假設他在這兩個交通崗處遇到紅燈的事件是相互獨立的，并且概率都是0.6，求他至少遇到一次紅燈的概率.

解：事件“至少遇到一次紅燈”包括“兩次都遇到紅燈”和“恰有一次遇到紅燈”這兩個基本事件.記“第一次遇到紅燈”為事件A，“第二次遇到紅燈”為事件B，由題意可知，A與B是互相獨立的，因此“他兩次都遇到紅燈”就是事件A?B發生.則P(A?B)=P(A)?P(B)=0.6×0.6=0.36.記=“第一次沒有遇到紅燈”，=“第二次沒有遇到紅燈”，所以，?B=“第一次沒有遇到紅燈，第二次遇到紅燈”，A?=“第一次遇到紅燈，第二次沒有遇到紅燈”，并且?B與A?是互斥的，因此，“恰有一次遇到紅燈”的概率是P(?B+A?)=P(?B)+P(A?)=(1-0.6) ×0.6+0.6×(1-0.6)=0.48，所以，他至少遇到一次紅燈的概率為P=P(A?B)+P(?B+A?)=0.36+0.48=0.84.

五、 整體思想

整體思想，就是從整體著手，通過問題的整體形式、整體結構或其他整體處理后，達到簡捷解體的思想方法.

例5 省工商局對全省流通領域的飲料進行了質量監督抽查，結果顯示，某種剛進入市場的x飲料的合格率為80%.現甲乙丙３人聚會，選用了6瓶x飲料，并限定每人喝兩瓶，求甲乙丙3人中只有1人喝到兩瓶不合格的x飲料的概率.

解：記“1人喝到兩瓶不合格的x飲料”為事件A，3人喝6瓶x飲料且限定每人兩瓶相當于3次獨立重復試驗.

根據n次獨立重復試驗中事件A恰好發生k次的概率公式，3人喝6瓶只有1人喝到2瓶不合格x飲料的概率為C32×（0.8×０.８）２(1-0.8×０.８)=0.44.

編輯：謝穎麗