談極限的求解方法

〔關鍵詞〕 數學教學；極限；解答；方法

〔中圖分類號〕 G633.6 〔文獻標識碼〕 C

〔文章編號〕 1004—0463（2012）14—008６—０2

極限作為一種數學思想，其發展經歷了思想萌芽、理論發展和理論完善這三個過程，它的形成為人類認識無限提供了強有力的工具，是近現代數學的一種重要思想方法.極限在高中數學里已有所涉及，是學習的難點之一，而求解極限是學習極限問題的基礎，因此掌握求解極限的各種方法顯得非常重要.本文就極限的各種求解方法進行了總結和分析.

1. 幾種常用的極限求解方法

（1）利用四則運算法則求極限

對和、差、積、商形式的函數求極限，經常使用四則運算法則：

（an±bn）=an±bn；(an×bn )=an×bn；=（bn≠0）.

但在使用此法則時，往往需要對函數進行恒等變形（常見的變形有：約分、通分、分式的分解、分子和分母有理化、三角函數的恒等變換等）.

（2）利用等價無窮小求極限

等價量代換是求解極限問題常用方法之一，解題時要注意使用無窮小量進行替換.在具體求極限過程中，要遵循以下等價無窮小替換原則：對函數的因子可進行等價無窮小替換，該因子首先必須是無窮小量.下面列出幾個常用的無窮小量等價替換：

當x→0時，sinx～x；tanx～x；1-cosx～x2；ex-1～x；ln（1+x）～x；-1～x

（3）利用兩個重要極限求極限

兩個重要極限分別是①=1；②(1+)x=e.

其中第一個重要極限=1可理解為==1，第二個極限(1+)x=e可以理解為

(1+）y=e或者（1+y）=e.這兩個重要極限是求極限的一種重要手段，要根據題目中給出的條件靈活選擇適當的形式，使運算更加簡潔.

（4）利用洛比達法則求極限

假設當自變量x趨近于某一定值（或無窮大）時，函數f(x)和ɡ(x)滿足：

i) f(x)和ɡ(x)的極限都是0或都是無窮大

ii) f(x)和ɡ(x)都可導，且ɡ(x)導數不為0

iii) 存在（或是無窮大）

則極限也一定存在，且有=，此稱為洛必達法則.

洛必達法則是處理()型或()型的未定式極限的重要方法，在具體求解中，如果利用洛必達法則處理的結果還是()型或()型的，則可繼續利用洛必達法則去化簡，直到化為最簡為止.

（5） 利用函數的連續性求極限

由函數f(x)在x0點連續的定義知f(x)=f(x０)，由于初等函數在定義區間內處處連續，所以求初等函數在定義區間內任意點處的極限值，實質上就是求函數在該點處的函數值，因此利用函數的連續性求極限就是代入f(x)=f(x０)進行計算.

2. 幾種特殊的極限求解方法

（1）變“無限多個”為“有限多個”求極限

利用極限的四則運算法則求極限，不僅要求每個函數的極限存在，而且只能是有限多個函數的和、差、積.若是求“無限多個”函數極限，用恒等變換將“無限多個”函數的和、差、積變為“有限多個”函數的和、差、積后，再利用四則運算法則求出極限.

例1 求(1+a+a2+a3+……+an)(0

分析: 本題為“無限多個”函數之和的極限，它們構成等比數列，用等比數列求和公式便可將“無限多個”函數之和變為“有限多個”函數，再用四則運算法則便可求得結果.

解：原式==（其中an+1=0，0

（2）利用泰勒展開式求極限

利用泰勒公式求極限一般是用麥克勞林公式的形式，并采用皮亞諾型余項.當函數為分式時，一般要求分子分母展成同一階的麥克勞林公式，再通過比較求出極限.

例2 求.

解：由cosx=1- ++o(x5)，=1-++o(x5)，則cosx-=-+o(x5)，

則==-.

極限是描述數列和函數在無限過程中的變化趨勢的重要概念，是從近似認識精確，從有限認識無限，從量變認識質變的一種數學方法.同時，極限是微分的理論基礎，研究函數的性質實際上就是研究各種類型的極限，如連續、導數、定積分等，由此可見極限的重要性.而如何求極限，怎樣使求極限變得容易，這是絕大多數學生，尤其是高中學生較為頭痛的問題.求極限不僅要準確理解極限的概念和性質，而且還要掌握和了解求解極限的各種方法.本文總結和給出了幾種求解極限的方法，利用這些方法可以求解常見的極限，并可以加深對極限的理解.

編輯：謝穎麗