談極限的求解方法

〔關(guān)鍵詞〕 數(shù)學(xué)教學(xué)；極限；解答；方法

〔中圖分類號〕 G633.6 〔文獻(xiàn)標(biāo)識碼〕 C

〔文章編號〕 1004—0463（2012）14—008６—０2

極限作為一種數(shù)學(xué)思想，其發(fā)展經(jīng)歷了思想萌芽、理論發(fā)展和理論完善這三個過程，它的形成為人類認(rèn)識無限提供了強(qiáng)有力的工具，是近現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一種重要思想方法.極限在高中數(shù)學(xué)里已有所涉及，是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)之一，而求解極限是學(xué)習(xí)極限問題的基礎(chǔ)，因此掌握求解極限的各種方法顯得非常重要.本文就極限的各種求解方法進(jìn)行了總結(jié)和分析.

1. 幾種常用的極限求解方法

（1）利用四則運(yùn)算法則求極限

對和、差、積、商形式的函數(shù)求極限，經(jīng)常使用四則運(yùn)算法則：

（an±bn）=an±bn；(an×bn )=an×bn；=（bn≠0）.

但在使用此法則時，往往需要對函數(shù)進(jìn)行恒等變形（常見的變形有：約分、通分、分式的分解、分子和分母有理化、三角函數(shù)的恒等變換等）.

（2）利用等價無窮小求極限

等價量代換是求解極限問題常用方法之一，解題時要注意使用無窮小量進(jìn)行替換.在具體求極限過程中，要遵循以下等價無窮小替換原則：對函數(shù)的因子可進(jìn)行等價無窮小替換，該因子首先必須是無窮小量.下面列出幾個常用的無窮小量等價替換：

當(dāng)x→0時，sinx～x；tanx～x；1-cosx～x2；ex-1～x；ln（1+x）～x；-1～x

（3）利用兩個重要極限求極限

兩個重要極限分別是①=1；②(1+)x=e.

其中第一個重要極限=1可理解為==1，第二個極限(1+)x=e可以理解為

(1+）y=e或者（1+y）=e.這兩個重要極限是求極限的一種重要手段，要根據(jù)題目中給出的條件靈活選擇適當(dāng)?shù)男问剑惯\(yùn)算更加簡潔.

（4）利用洛比達(dá)法則求極限

假設(shè)當(dāng)自變量x趨近于某一定值（或無窮大）時，函數(shù)f(x)和ɡ(x)滿足：

i) f(x)和ɡ(x)的極限都是0或都是無窮大

ii) f(x)和ɡ(x)都可導(dǎo)，且ɡ(x)導(dǎo)數(shù)不為0

iii) 存在（或是無窮大）

則極限也一定存在，且有=，此稱為洛必達(dá)法則.

洛必達(dá)法則是處理()型或()型的未定式極限的重要方法，在具體求解中，如果利用洛必達(dá)法則處理的結(jié)果還是()型或()型的，則可繼續(xù)利用洛必達(dá)法則去化簡，直到化為最簡為止.

（5） 利用函數(shù)的連續(xù)性求極限

由函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)連續(xù)的定義知f(x)=f(x０)，由于初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)處處連續(xù)，所以求初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)任意點(diǎn)處的極限值，實(shí)質(zhì)上就是求函數(shù)在該點(diǎn)處的函數(shù)值，因此利用函數(shù)的連續(xù)性求極限就是代入f(x)=f(x０)進(jìn)行計(jì)算.

2. 幾種特殊的極限求解方法

（1）變“無限多個”為“有限多個”求極限

利用極限的四則運(yùn)算法則求極限，不僅要求每個函數(shù)的極限存在，而且只能是有限多個函數(shù)的和、差、積.若是求“無限多個”函數(shù)極限，用恒等變換將“無限多個”函數(shù)的和、差、積變?yōu)椤坝邢薅鄠€”函數(shù)的和、差、積后，再利用四則運(yùn)算法則求出極限.

例1 求(1+a+a2+a3+……+an)(0

分析: 本題為“無限多個”函數(shù)之和的極限，它們構(gòu)成等比數(shù)列，用等比數(shù)列求和公式便可將“無限多個”函數(shù)之和變?yōu)椤坝邢薅鄠€”函數(shù)，再用四則運(yùn)算法則便可求得結(jié)果.

解：原式==（其中an+1=0，0

（2）利用泰勒展開式求極限

利用泰勒公式求極限一般是用麥克勞林公式的形式，并采用皮亞諾型余項(xiàng).當(dāng)函數(shù)為分式時，一般要求分子分母展成同一階的麥克勞林公式，再通過比較求出極限.

例2 求.

解：由cosx=1- ++o(x5)，=1-++o(x5)，則cosx-=-+o(x5)，

則==-.

極限是描述數(shù)列和函數(shù)在無限過程中的變化趨勢的重要概念，是從近似認(rèn)識精確，從有限認(rèn)識無限，從量變認(rèn)識質(zhì)變的一種數(shù)學(xué)方法.同時，極限是微分的理論基礎(chǔ)，研究函數(shù)的性質(zhì)實(shí)際上就是研究各種類型的極限，如連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、定積分等，由此可見極限的重要性.而如何求極限，怎樣使求極限變得容易，這是絕大多數(shù)學(xué)生，尤其是高中學(xué)生較為頭痛的問題.求極限不僅要準(zhǔn)確理解極限的概念和性質(zhì)，而且還要掌握和了解求解極限的各種方法.本文總結(jié)和給出了幾種求解極限的方法，利用這些方法可以求解常見的極限，并可以加深對極限的理解.

編輯：謝穎麗