將數學思維的培養落到實處

　　白志峰：北京市特級教師，曾被評為全國優秀教師，現為首都師范大學全日制教育碩士特聘指導教師，通州區教師研修中心兼職教研員。白老師積極進行教育教學研究，在《數學通報》、《中學數學教學參考》等刊物先后發表論文五十余篇。
　　有這樣一句名言：“當一個人把所學的知識都忘了以后，還能保留下來的正是教師要教給學生的。”保留下來的是什么呢？是思維素質，是能力。隨著時間的推移，知識會被遺忘，而科學的思維能力卻會長久地留存下來。
　　數學課堂教學中，不僅要傳播知識與技能，而且要把培養學生的思維能力落到實處。與此同時，數學在培養人的堅強的意志品質方面，也有其他學科不可替代的作用。所以，注重培養學生的思維能力，使學生學會提出問題、分析問題、解決問題的科學方法，磨練鍥而不舍的堅強意志，強化個性品質的培養，從而體現數學學科特色，實現數學的教育價值，成為我二十多年課堂教學中孜孜不倦的追求。
　　課前功夫是基礎
　　一節課的目標定位是什么？以什么為載體？要讓學生學會什么知識與技能？達到什么樣的思維高度？提煉或滲透哪些數學思想？如何發揮學生的主體地位和教師的主導作用？不同層次學生的需求是什么？都需在課前作充分思考。將這些問題考慮清楚了，才能有成功的基礎。
　　在“北京市高中新課程自主排課實驗課例研討會”上，我有幸作了一次主題為“實際背景下的位置關系”的觀摩課。當時正值高三立體幾何線面位置關系的基礎復習之后，應該進行一些升華性的工作。于是我仔細研究了教材中的相關內容，發現人教社A、B兩版教材中都有類似于“木工畫線”這樣的實際問題。解決這類問題既需要基礎知識和基本技能，又需要注意實際問題的可行性。為此，我將教材中的一道習題經過改編后形成如下題目：
　　在一塊四面體木料PABC中，M是面PAB內一點，木工師傅要經過M在平面PAB內畫一條直線與PC垂直，該如何畫？說明理由。
　　因為實際畫線時，只能沿表面進行，所以看似簡單的一道題目，解決起來絕非易事。經過反復思考，我發現這個問題不僅能激發學生的興趣，而且所蘊含的基礎知識、思想方法和數學思維十分廣闊，有極其豐富的教育價值——
　　以退為進的思維切入點——退到特例：PC⊥平面PAB，由此向正確途徑邁出了第一步。
　　分層遞進的問題解決方法——特例的解決對一般情況的解決提供了有效的啟發、幫助。可用螺旋上升的五種情況進行分層解決：∠APC和∠BPC都等于90°；∠APC和∠BPC有一個等于90°；∠APC和∠BPC都小于90°；∠APC和∠BPC都大于90°；∠APC和∠BPC一個小于90°，一個大于90°。
　　如何創新地解決一個陌生問題，需多問幾個為什么：能否解決問題的一部分？特例是怎么解決的？對其他情形有參考價值嗎？有的話，如何構建一個特例那樣的模型？前一情況的解決，能為后一情況的解決提供參考嗎？這正是科學研究的有效方法。
　　直覺思維與理性思維的融合——可以讓學生體驗“數學地”處理問題的思維方式。
　　分類討論、轉化化歸、特殊到一般等重要的數學思想。
　　知難而進的數學精神——通過探究、否定、調整、類比、轉化等手段，突破障礙，走出困境，找到正確的思路，進而培養學生勇于探索，知難而進，鍥而不舍的意志品質。
　　課前的充分思考，使得我對教學目標有了合理定位，對教學方法有了整體把握。在實際教學中，我將自己的思考軌跡融入教學過程，學生興趣盎然，積極主動，取得了顯著的效果，受到與會者的一致好評。
　　課堂教學是關鍵
　　1. 讓問題在課堂中閃光
　　著名數學教育家波利亞有一句話：“問題是數學的心臟。”古語有：“學起于思，思起于源。”學生探究知識的欲望往往從問題開始，一個耐人尋味的問題往往能激發學生思維的火花。有了問題，思維才有方向、才有動力。
　　在“直線的傾斜角與斜率”一節課中，我設置了如下的問題：
　　問題1.確定直線的幾何要素有哪些？（兩點）
　　問題2.如果只經過一點能確定一條直線嗎？若不能，還需補充什么條件？（引入傾斜角）
　　問題3.用數學概念來刻畫事物時，講究準確與簡潔，如何用數學語言準確描述傾斜角？（給傾斜角下定義）
　　問題4.傾斜角從“形”的角度刻畫了直線的傾斜程度。那么，可否從“數”的角度刻畫直線的傾斜程度？（引入斜率）
　　問題5.如果你是編書者，你怎么給直線的斜率下定義？
　　問題6.從幾何角度看，兩點確定一條直線，也就確定了直線的傾斜程度，即斜率。因為點對應著坐標，所以從代數角度看，已知兩點的坐標，如何求直線的斜率？（探究直線的斜率公式）
　　我采取通過問題驅動的方式，引領學生從現有知識出發，進行思考、歸納、發現、抽象、總結，避免學生被動接受，思維始終處于活躍狀態。通過“問題串”，引發了學生“看個究竟”的沖動，把握了“我們在干什么”的主線，突破了“怎么會想到它”的教學難點。學生參與歸納抽象得出概念，分析推導得出公式的整個教學過程，培養了學生思考問題的方式和解決問題的方法，突出了學生的主體地位。層層深入，步步為營，最后順利地達成了教學目標，也較好地體現了課堂教學的實效性。我相信這對于學生學習興趣的培養和思維能力的提高是大有裨益的。
　　2. 讓思維在課堂中碰撞
　　課堂教學中應盡可能避免單純由教師到學生的信息傳播。要特別重視學生與學生之間的互動與影響，充分發揮他們之間的思維互補性。學生在研討探究、補充交流、評價完善的環境中所獲取到的知識和思維方法，是教師不能代替的。這就需要教師敢于放手發動學生，善于給學生留足適當的時間和空間。
　　在一次“等差數列”的復習課中，我設計了如下一道題目，讓學生獨立思考后，相互補充交流，最后由學生代表板演和講解。
　　題目：已知an是等差數列，Sn是前n項的和，S5=28，S10=36，求S15。
　　生1：列方程組求出首項和公差——基本量法。這是基本方法和基本技能。
　　生2：因為是n的二次函數，利用待定系數法求解。這是函數觀點，反映了學生認識上的跨越。
　　生3：利用等差數列性質——S5，S10-S5，S15-S10也成等差數列。
　　生4：轉化構造，得到■也成等差數列。
　　生5：受生4的啟發，可知5，■、10，■、15，■三點共線。
　　（生5溝通了數列與解析幾何的聯系。生4、生5在等差數列基本性質的基礎上，加以聯系、擴展，體現了更高層次的認知水平。）
　　表面看起來十分簡單的一道題，經過學生的集體智慧，把隱藏的基本思路和基本規律，把知識的橫向、縱向聯系都挖掘了出來。學生的思維過程經過交流與展示得以相互學習，提高了學生對知識的本質理解和思維素質。而我的點評只有一句話：“理解越深刻，解法越簡單。”不言自明。
　　3.讓思維定勢在課堂中突破
　　新知識的學習必然受到原有認識的制約，所以突破思維定勢就顯得至關重要。這時教師的主導作用就體現出來了。
　　如學生對曲線切線概念的理解有偏差：一是“在一點處的切線”與“過某一點的切線”不加區別；二是當直線與曲線只有一個公共點，便認為二者相切。
　　于是，在“導數的應用”一節課里，我出示了這樣一個問題：
　　已知函數f（x）=■x3+■，求⑴過點的切線方程；⑵過點A2，■的切線方程。
　　對于⑴，學生將點A作為切點，用導數的方法，很快得出結論。殊不知，點A也可以不是切點，作為另一條切線上的已知點，用設切點的方法，可求出另一條切線。學生栽了跟頭，便有了刻骨銘心的記憶。
　　對于⑵，學生也能很快得出結果，其中一條直線為y=■，通過畫圖，看出該直線將原曲線攔腰截成兩段，便有疑問：這是切線嗎？肯定不是！因為以往的切線都是與曲線“擦邊”而過。在學生沾沾自喜地將其舍去時，我再追問：舍去的理由是什么？請同學們再次回憶切線的定義。原來問題出在對“切線是割線的極限位置”這一基本概念的理解上，而理解有誤是因為初中學過：當直線與圓只有一個公共點時，該直線與圓相切，形成了思維定勢。現在擴展到一般曲線了，就要對概念有更加全面準確的理解。這樣通過誘導學生暴露其原有的思維框架，有效地突破了思維定勢。
　　課后反思是臺階
　　教學永遠是一門遺憾的藝術。善于進行教學反思，才可以更上一個臺階。螺旋上升，方可逐步形成自己的教學特色。反思什么？反思成功之處，反思不足之處，反思情景設計、教學策略、教學環節、目標達成、評價方法、教學效果、課堂靈感、再教設想，甚至反思教材不足……
　　總而言之，反思需積累，反思需堅持，反思是臺階，反思才有進步，反思才有創新。
　　記得剛參加工作不久，我代立體幾何課。那時經常出現的問題是：課上學生的反應很好，但作業很差，證明問題邏輯關系不明，起初我簡單地歸罪為學生，后來發現還是課堂教學不到位，我只注重了學生的口頭表達。
　　于是我做了如下反思，至今記憶猶新——
　　對于一個數學問題，想出來，可能一閃而過，可以有思維的跨越；說出來，需要表述清楚，要有邏輯性，可以有口頭語；但寫出來，就需要更加嚴密，需要用數學語言，有理有據。這是由低到高的三個不同的層次。好多情況下，你問學生會不會，他說會。但讓他說出來，他便會發現“想”存在的問題，再要求他寫出來，他又會發現“說”存在的問題。寫出來，就是一種學術的形態，更高的層次。
　　我將這段話凝練為“想出來，說出來，寫出來”，并且一直伴隨我到現在。我常常在教學中用這九個字來要求學生，言傳身教，樂此不疲。
　　□編輯 王宇華
　　教學是一門藝術，而數學教學是追求思維價值的藝術。如果數學課只是傳授知識與技能，那就失去了數學教育的主要目標。高中數學應該提高學生的數學思維能力，使學生學會“數學地”處理問題的思維方式，為學生的終身發展打下堅實的基礎，實現數學的教育價值。
　　——白志峰
　　通過白志峰老師的課，我們看到了一位教師在教材和教學內容方面的深刻功力：把教材看穿、吃透、挖掘出精髓后的“入木三分”、“一針見血”，因深刻而發人深省；獨到：對教材真知灼見的“于平凡中間出新奇”、“發人之所未發，見人之所未見”，因獨到而令人難忘。
　　——祁京生（北京市潞河中學副校長，數學特級教師）
　　白志峰老師課的顯著特點是思維含量高。他善于挖掘教材并能提出真知灼見；善于從基礎知識和基本技能出發，擴展學生的知識結構；善于挖掘知識的內在聯系，充分發揮例題的教學功能；善于發揮學生的主觀能動性并且給予哲理性的點評。足見其對于數學教育的本質理解和教學操作的智慧與積淀。
　　——王學一（北京市通州區教師研修中心數學教研