如何克服排列、組合問題中的“重”與“漏”

【摘 要】本文針對排列組合問題中的易錯問題作了分析，可幫助讀者深刻理解這類問題的實質，避免出錯。

【關鍵詞】排列 組合 問題實質 不重不漏

對于典型的排列組合問題，一般可分為以下幾類：

①相臨問題——捆綁法，②不相臨問題——選空插入法，③復雜問題——總體排除法，④特殊元素——優先考慮法 ，⑤多元問題——分類討論法，⑥混合問題——先選后排法，⑦相同元素分配——檔板分隔法。

以上問題，學生們都掌握得非常熟練了。但有些問題，不能歸為這七類中的任何一類，在解決這些計數問題時，學生做出來的結果往往是正確答案的二倍，究其原因，往往是選法數重復了，這使學生們非常困惑。

在教學中，我曾經提出這樣一個問題：從5雙不同的靴子中選出4只靴子，其中恰有2只配成一雙，共有多少種不同的選法？不少學生都是這樣的思路：第一步，從5雙靴子中選出一雙，有種不同的選法；第二步，從剩余的8只靴子中選一只，有種不同的選法；第三步，從剩余的6只靴子中選一只，有種不同的選法，故符合條件的選法種數為=240種，殊不知，正確答案是120種。當我給出正確答案時，學生們頓時就炸開了鍋，立即展開了熱烈的討論。后來，學生們領悟到，出錯在第二步和第三步，如果用a1，a2；b1，b2；c1，c2；d1，d2來表示剩余的4雙靴子，那么先選到a1，再選到c2，與先選到c2，再選到a1是同一種選法，所以其選法就重復了。那么，怎樣才能讓學生在解決這類問題時，能做到不重不漏呢？

首先，談談排列組合綜合問題的一般解題規律:

（1）處理排列、組合綜合問題，一般思想是先選元素（組合），后排列，按元素的性質進行“分類”和按事件的過程“分步”，保證每步獨立，達到分類標準明確，分步層次清楚，不重不漏。

（2）排列與組合定義相近，它們的區別在于是否與順序有關。

（3）復雜的排列問題常常通過試驗、畫“樹圖”“框圖”等手段使問題直觀化，從而尋求解題途徑，由于結果的正確性難于檢驗，因此常常需要用不同的方法求解來獲得檢驗。

（4）在解決排列組合綜合問題時，必須深刻理解排列組合的概念，能熟練地對問題進行分類，牢記排列數與組合數公式與組合數性質，容易產生的錯誤是重復和遺漏計數。

其次，我們要抓住問題的本質特征和規律，還要注意講究一些解題策略和方法技巧，使一些看似復雜的問題迎刃而解。

有次我叫同學們做一個練習：在10件產品中，有8件合格品，2件次品，從中任意抽出3件，求至少有1件是次品的抽法有多少種？

同學們的做法基本有兩種：①本題至少有1件次品包括：1件次品和2件次品兩種情況，有＝64種抽法；②至少有1件次品的反面是沒有次品：-＝64種抽法。正當我要準備講另外一個問題的時候，有個同學突然舉手，說：“我有一個好辦法，不用分類就可以做出來，先在2件次品中抽一件，有種抽法，而剩余的一件可被抽出，也可不被抽出，所以就把它與8件合格品放在一起，從這9件產品中抽2件即可，即種抽法，由分步計數原理得，抽法為＝72種。”其他同學好像被動搖了，我讓他們討論，最終找到了錯誤原因。將8件正品記為A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8，2件次品記為B1，B2，那么先抽到B1，在抽到B2，A1與先抽到B2，再抽到B1，A1是同一種抽法。所以，當2件次品均被抽到的方法數就重復了8種。

另一問題：從某6個人中選出5人去坐5個座位（每個座位只能坐1人），其中甲只能坐在某個位置，那么不同的坐法有多少種？

錯解：先確定甲的位置，再在其余5人中選4人排列，共有1·＝120種排法。

辨析：從6人中只選5人，不一定選到甲。若沒有選到甲，還有＝120種排法。題意要求甲只能坐在某個位置，并沒有要求那個位置只能坐甲，還要分選到甲與沒有選到甲分為兩類，不能漏解。

正解: 按選到某甲或沒有選到某甲分為兩類：若選到某甲有1·種排法； 若沒有選到某甲有種選法。根據分類計數原理知，不同的排法共有+＝240種排法.

排列組合是概率統計的基礎，是高中數學教材中的重點，也是一個難點。教師在教學過程中，對于排列組合問題中常見的錯誤進行剖析，找到解決問題的對策，可以有效地避免誤解，準確地解決排列組合問題。