“二分法”的教學設計

高中數學必修1第三章是函數與方程，本章分兩節，第一節的重點是通過用“二分法”求方程的近似解，使學生體會函數零點與方程根之間的聯系，初步形成用函數觀點處理問題的意識。本節又安排了3課時，第二課時是用二分法求方程的近似解，下面是我對這節課的設計。

新課程特別倡導用具體的、有趣的、富有挑戰性的素材引導學生投入教學活動。于是我模仿中央臺二套購物街欄目設計了一個猜手機價格的游戲，我先寫下一個“價格782元”的紙條，再秘密地交給一位同學，并悄悄地告訴這位同學誤差是10元，也就是說當競猜的同學說出的價格在772元和792元之間的時候，就要恭喜這位同學猜對了，從而結束游戲。一聽說做游戲，同學們都情緒高漲，躍躍欲試。學生推薦了一位男生和一位女生來競猜。價格最初鎖定在504元到1000元之間，在“猜得高了！”“低了！”的提示下，“達標”的價格很快被猜了出來。

我又趁機用“二分法”來猜價格，因為價格在504元到1000元之間，所以我首先取504和1000的平均數即=752來猜，這時提示的應該是“低了”，就可以判斷價格應該在752到1000之間，我接著取752和1000的平均數即 ，這時提示的應該是“高了”，這時就可以判斷價格應該在752和876之間，我繼續取752和876的平均數即 =814，這時提示的還應該是“高了”，我再取752與814的平均數即=783，同學們都說猜中了，如果把價格看做函數的零點，價格所在的范圍看成區間，那我每次取的數都是區間的中點，這種通過取區間的中點把區間一分為二，從而一步步把“價格”逼近到“達標的范圍”的方法就是我們這節課要學習的“二分法”。然后我及時地給出“二分法”的概念。

對于在區間[a，b]上連續不斷且f（a）·f（b）<0的函數 ，通過不斷地把函數 的零點所在的區間一分為二，使區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法。給定精確度 ，用二分法求函數零點近似值的步驟如下：

S1：確定區間[a，b]，驗證f（a）·f（b）<0，給定精確度€%^；

S2：求區間（a，b）的中點c；

S3：計算f（c）；

（1）若f（c）=0，則c就是函數的零點；

（2）若f（a）·f（c）<0，則令b=c（此時零點x0∈（a，c））；

（3）若f（c）·f（b）<0，則令a=c（此時零點x0∈（c，b））；

S4：判斷是否達到精確度€%^：即若|a-b|<€%^，則得到零點的近似值a（或b）；否則重復S2—S4.

讓學生結合競猜價格的實例類比掌握用二分法求函數零點的近似值的步驟。競猜中，允許的誤差范圍相當于什么？“高了”“低了”的含義是什么？如何確定價格的最可能的范圍？在競猜游戲中生成“二分法”的概念。整節課都圍繞著這個游戲，運用類比的方法展開并完成了新知的學習。數學教育不僅僅關注學生的學習結果，更為關注結果是如何發生、發展的。

讓學生聯系生活實際找出二分法的用途，比如喝酒令里面的猜撲克牌游戲，還有在維修電話線中的運用。一工人要維修一條10km長的電話線，如何迅速查出故障所在。如果沿著線路一小段一小段查找，困難很多。每查一個點要爬一次電線桿子，10km長，大約有200多根電線桿子。因此就可使用二分法：設電線兩端分別為A、B，他首先從中點C查，用隨身帶的話機向兩端測試時，發現AC段正常，斷定故障在BC段，再到BC中點D，發現BD正常，可見故障在CD段，再到CD中點E來看，這樣每查一次，就可以把待查線路長度縮減為一半，故經過7次查找，就可以將故障發生的范圍縮小到50－100m左右，即在一兩根電線桿附近。這樣就省了很多精力了。對于生活中一些故障排查、人員查詢等問題，都可以通過二分法的思想來處理這類問題，其過程比較省，速度比較快。二分法不僅僅可以用來求解函數的零點和方程的根，這在現實生活中也有許多重要的應用，其思想方法在生活中經常碰到。在解答以上這類實際問題關鍵在于分析二分法的思想及其應用的實質，根據實際情況加以判斷和總結，巧妙取中間，巧妙分析和縮小故障的區間，從而達到以最短的時間和最小的精力達到目的。

最后讓學生課后討論稱重問題：現有12個小球，從外觀上看完全相同，除了一個小球重量不合標準外，其余的小球重量均相同。用一架天平，限稱三次，把這個“壞球”找出來，并說明此球是偏輕還是偏重、如何稱。

二分法的思想方法除了可以用來處理生活中、數學中的對稱的問題外，還可以通過其思想方法來處理一些現實中的不對稱的問題，在生活中、數學中也是經常見到，要注意二分法思想方法與實例問題之間的聯系和應用。

這節課學生從競猜游戲中獲取了數學知識，再運用數學知識解決了一些實際問題，不僅克服掉了學生對數學的害怕和厭惡，而且能激發學生學好數學的內在動機，這對提高中學生的素質及以后的進一步學習有著深遠的意義。