探討高中數(shù)學(xué)問題解題

培養(yǎng)和提高中學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，使學(xué)生掌握提出、分析和解決帶有實際意義的或在相關(guān)學(xué)科，生產(chǎn)、生活中的數(shù)學(xué)問題，準確而靈活地運用數(shù)學(xué)語言研究和表述問題，是中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)的迫切要求，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程的始終都應(yīng)注重學(xué)生應(yīng)用意識的培養(yǎng)，加大應(yīng)用問題的教學(xué)力度。

一、訓(xùn)練問題解題法

為培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識，提高學(xué)生分析問題解決問題的能力，教學(xué)中首先應(yīng)結(jié)合具體問題，教給學(xué)生解答應(yīng)用題的基本方法、步驟和建模過程、建模思想。

教學(xué)應(yīng)用題的常規(guī)思路是：將實際問題抽象、概括、轉(zhuǎn)化——數(shù)學(xué)問題、解決數(shù)學(xué)問題、 回答實際問題。具體可按以下程序進行：

（1）審題：由于數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性及實際問題的多樣性，往往需要在陌生的情景中去理解、分析給出的問題，舍棄與數(shù)學(xué)無關(guān)的因素，抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系。為此，引導(dǎo)學(xué)生從粗讀到細研，冷靜、慎密的閱讀題目，明確問題中所含的量及相關(guān)量的數(shù)學(xué)關(guān)系。對生疏情景、名詞、概念作必要的解釋和提示，以幫助學(xué)生將實際問題數(shù)學(xué)化。

（2）建模：明白題意后，再進一步引導(dǎo)學(xué)生分析題目中各量的特點，哪些是已知的，哪些是未知的。是否可用字母或字母的代數(shù)式表示，它們之間存在著怎樣的聯(lián)系？將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言或圖形語言，找到與此相聯(lián)系的數(shù)學(xué)知識，建成數(shù)學(xué)模型。

（3）求解：解出數(shù)學(xué)問題，得出數(shù)學(xué)結(jié)論。

（4）還原：將得到的結(jié)論，根據(jù)實際意義適當增刪，還原為實際問題。

例：某城市現(xiàn)有人口總數(shù)100萬人，如果年自然增長率為1.2％，寫出該城市人口總數(shù)y(人)與年份x(年)的函數(shù)關(guān)系式。

這是一道人口增長率問題，教學(xué)時為幫助學(xué)生審題，我在指導(dǎo)學(xué)生閱讀題時，提出了以下要求：

——粗讀，題目中涉及到哪些關(guān)鍵語句，哪些有用信息？解釋“年自然增長率”的詞義，指出：城市現(xiàn)有人口、年份、增長率，城市變化后的人口數(shù)等關(guān)鍵量。

——細想，問題中各量哪些是已知的，哪些是未知的，存在怎樣的關(guān)系？

——建模，啟發(fā)學(xué)生分析這道題與學(xué)過的、見過的哪些問題有聯(lián)系，它們是如何解決的？對此有何幫助？

學(xué)生討論后，從特殊的1年、2年…抽象歸納，尋找規(guī)律，探討x年的城市總?cè)丝趩栴}： y=100·(1+1.2%)x。

二、引導(dǎo)學(xué)生將應(yīng)用問題進行歸類

為了增強學(xué)生的建模能力，在應(yīng)用問題的教學(xué)中，及時結(jié)合所學(xué)章節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生將應(yīng)用問題進行歸類使學(xué)生掌握熟悉的實際原型，發(fā)揮“定勢思維”的積極作用，可順利解決數(shù)學(xué)建模的困難，如將高中的應(yīng)用題歸為：①增長率（或減少率）問題②行程問題③合力的問題④排列組合問題⑤最值問題⑥概率問題等。這樣，學(xué)生遇到應(yīng)用問題時，針對問題情景，就可以，通過類比尋找記憶中與題目相類似的實際事件，利用聯(lián)想，建立數(shù)學(xué)模型。

三、針對不同內(nèi)容采取不同教法

高中新教材的數(shù)學(xué)應(yīng)用問題遍及教材的各個方面，教學(xué)時只要針對不同內(nèi)容，有的放矢，各有側(cè)重，就會取得較好的效果。

1.章頭序言，指導(dǎo)閱讀，留下懸念。對圖文并茂的章頭序言，由教師簡單提出或由學(xué)生閱讀，使學(xué)生稍作碰壁，留下解題懸念，增強解決問題的欲望。

2.重視例題的示范作用。例題是連接理論知識，與問題之間的橋梁，示范性強。因此在講解例題時應(yīng)在分析題目各個量的特點關(guān)系，建模，解決數(shù)學(xué)問題、還原為實際問題的諸多環(huán)節(jié)都應(yīng)很好的起示范作用，教師應(yīng)重視例題的分析與講解，積極進行啟發(fā)式教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題、尋求基本實際模型的能力，重視數(shù)學(xué)理論知識與實際應(yīng)用的聯(lián)系。

3.指導(dǎo)練習(xí)，鞏固方法。充分運用課本的練習(xí)題、習(xí)題、復(fù)習(xí)題，讓學(xué)生自己動手、動腦，應(yīng)用所學(xué)的知識解決實際問題。練習(xí)題位于具體的理論知識后面，建模方向性強，教師只需稍作指導(dǎo)；而習(xí)題則更多利用教師批改作業(yè)的機會，主要糾正數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)化過程，及解題的規(guī)范過程；復(fù)習(xí)題由于綜合性強，學(xué)生獨自解決有困難，教師要給予必要的指導(dǎo)、提示。

4.課外閱讀，補充提高。對于不作教學(xué)要求的閱讀材料，根據(jù)教學(xué)進度提出閱讀要求，布置學(xué)生進行課外閱讀，培養(yǎng)學(xué)生的閱讀能力，擴大知識面，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

5.實習(xí)作業(yè)，重視實際操作與團結(jié)協(xié)作。完成實習(xí)作業(yè)，可以打破單一沉寂的課堂教學(xué)氛圍，激發(fā)學(xué)生的探索精神，培養(yǎng)學(xué)生的實踐能力，進一步培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識和創(chuàng)新能力。但實際問題的因素是錯綜復(fù)雜的，這就要求學(xué)生在調(diào)查、分析、研究的基礎(chǔ)上，抓住本質(zhì)，通過篩選，去粗取精，結(jié)合數(shù)學(xué)知識，進行建模解決實際問題。如第五章《三角函數(shù)》中的實習(xí)作業(yè)，對不能直接測量的兩點的距離，教師選定符合要求的地點，組織學(xué)生實際測量，通過計算器進行計算，學(xué)生興致很高，特別是對“已知兩邊和一對角”解三角形的三種情況，通過動手操作，實地測量，加深影響，激發(fā)了學(xué)生的探索精神，增強了學(xué)生的感性認識。

6.研究性課題，重視自主探究?！把芯啃哉n題”是新教材中的一個專題性欄目，具有探究性和應(yīng)用性的特點，它既是所學(xué)內(nèi)容的實際綜合應(yīng)用，又對學(xué)生探究和解決問題具有較好的訓(xùn)練價值。

“研究性課題”，一個有關(guān)分期付款的問題，因為很多人一次性地支付售價較高的商品款額有一定困難，另一方面不少商家也不斷改進營銷策略，方便顧客購物和付款，它與每個家庭的日常生活密切相關(guān)，在今天的商業(yè)活動中應(yīng)用日益廣泛。對它的探究將會引起學(xué)生極大的興趣，教學(xué)這一課題時，應(yīng)突出以學(xué)生探究為主，教師點拔、介紹為輔，教師不斷提出問題，介紹情況，啟發(fā)誘導(dǎo)。鼓勵學(xué)生研究和探索。

第一步，讓學(xué)生閱讀教材中的方案表，明確每個付款方案的次數(shù)、方式。

第二步，引導(dǎo)學(xué)生探究第二種方案，即分6次付清，購買后第2個月第一次付款，再過2個月第2次付款……購買后12個月第6次付款，月利率為0.89％，每月利息按復(fù)數(shù)計算。

首先，學(xué)生根據(jù)要求試做，不少學(xué)生得出每期付款多少元，也有學(xué)生得出每期付款多少元。這時教師不必指出對錯，進一步分析、調(diào)整學(xué)生思維，這兩種方式對誰有利？學(xué)生計算后，自然得出前者對顧客有利，商家吃虧，而后者對商家有利，顧客吃虧，都不符合買賣公平的原則。

然后，教師適時的指出分期付款的條件，引導(dǎo)學(xué)生將原問題進行以下分解：商品在出售時的售價到全部付清時增值到多少？各期所付款額到貸款全部付清時分別增值到多少？利用付款中的有關(guān)規(guī)定列出方程：最后，引導(dǎo)深化——研究不同方案及一般結(jié)論，讓學(xué)生計算方案1、3，教師巡視指導(dǎo)，再由學(xué)生分組交流、比較結(jié)果，選擇最優(yōu)方案，得出一般結(jié)論。

（作者單位：江西省撫州市金溪縣金溪一中）