高職班“微分”教學設(shè)計方案

【摘 要】微分是《微積分》的一個重要的基本概念，是函數(shù)增量的一種近似表達，微分概念的正確理解和掌握是學習后續(xù)積分知識的基礎(chǔ)。正方形鐵皮熱脹冷縮，其面積會隨邊長的絕對值意義上的微小改變而改變，可利用這個經(jīng)典例子直觀引入微分概念，效果會很好。講授微分，宜運用啟發(fā)式教學，強化微分幾何意義的直觀理解，精講多練，重視利用微分作近似計算在實際問題中的應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】微分 直觀 近似計算

第一部分:課程設(shè)置分析

課程的地位 《微積分》是我院機電工程系、信息技術(shù)系、車輛工程系、電子電氣系各專業(yè)的一門必修公共課，是學生提高文化素質(zhì)和學習有關(guān)專業(yè)知識、專門技術(shù)及獲取新知識能力的重要基礎(chǔ)。主要講授極限與連續(xù)，導(dǎo)數(shù)、微分及其應(yīng)用，積分及其應(yīng)用等一元函數(shù)微積分的內(nèi)容。要注意引導(dǎo)學生在其他課程和實踐中使用數(shù)學，使學生認識數(shù)學的實用價值和經(jīng)濟價值，逐步形成數(shù)學意識，提高學生分析和解決實際問題的能力。

本次課的地位 本次課的主要內(nèi)容是微分。微分是《微積分》的一個重要的基本概念，它與導(dǎo)數(shù)概念既密切相關(guān)又有本質(zhì)區(qū)別。導(dǎo)數(shù)反映函數(shù)變化的快慢程度，而微分則是函數(shù)增量的一種近似表達，在實際問題中經(jīng)常利用微分作近似計算。微分概念的正確理解和掌握是學習后續(xù)積分知識的基礎(chǔ)，關(guān)于導(dǎo)數(shù)和微分兩者關(guān)系的處理，突出微分的地位更有意義。

教學設(shè)計理念與思路 學院以突出職業(yè)能力培養(yǎng)為導(dǎo)向，在加強實踐性教學、壓縮基礎(chǔ)課教學的實踐中做出了大膽的嘗試，各專業(yè)新的培養(yǎng)方案要求在高職的數(shù)學教育中，把培養(yǎng)數(shù)學素質(zhì)作為教學過程的主線，加強對學生進行數(shù)學知識應(yīng)用能力的培養(yǎng)，從而使學生的數(shù)學知識、能力、素質(zhì)得到協(xié)調(diào)發(fā)展。根據(jù)教學大綱要求和當前職業(yè)教育改革的先進理念，本次課運用啟發(fā)式教學，精講多練，突出重點與難點，重視利用微分作近似計算在實際問題中的應(yīng)用。

第二部:教學設(shè)計分析

一、教學目標

1.理解微分的概念及其幾何意義。

2.了解微分的四則運算法則，能運用。

3.能運用一階微分形式不變性求復(fù)合函數(shù)的微分。

4.能利用微分作近似計算。

二、教學重點和難點

重點:1.一階微分形式不變性的理解和運用;2. 在實際問題中利用微分作近似計算。

難點:微分概念及其幾何意義的理解。

三、教學方法

根據(jù)教學大綱要求和當前職業(yè)教育改革的先進理念，本次課運用啟發(fā)式教學，突出重點與難點;對于微分概念可采取由個別到一般、由具體到抽象等分析方法讓學生深入領(lǐng)悟其思想方法;通過典型例題的分析講解和一定數(shù)量的練習，精講多練，讓學生掌握好計算微分的方法與技巧;重視利用微分作近似計算在實際問題中的應(yīng)用。

四、教學設(shè)計

[板書設(shè)計]將黑板劃分為左中右三塊，中塊和右塊主要用來書寫即寫即擦的內(nèi)容，如舊課復(fù)習、新課引入、例題示范、練習講評等。新課知識要點寫在左邊，如微分定義的幾個表達式、微分形式的不變性、計算微分的方法小結(jié)、4個近似計算公式等。

[舊課復(fù)習] 通過實例或課堂練習復(fù)習復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)。

[新課引入] 正方形鐵皮熱脹冷縮，其面積會隨邊長的絕對值意義上的微小改變而改變，利用這個經(jīng)典例子直觀引入微分概念。

[新課講授] 微分

1. 定義:或.

.因此有.

2. 微分幾何意義:當自變量發(fā)生絕對值意義上的微小改變時函數(shù)在其切線方向上的改變量，這就是函數(shù)的微分.

3. 基本初等函數(shù)微分公式，微分運算法則，微分形式不變性.(表)

例 求函數(shù)的微分。

解一 用微分的定義求微分， 有

.

解二 利用一階微分形式不變性和微分運算法則求微分，得

.

本例小結(jié) 求函數(shù)微分的方法:利用微分的定義，利用微分的運算法則，利用一階微分形式不變性，各方法的綜合運用等。

4. 應(yīng)用微分進行近似計算的4個公式。

例 有一批半徑為1cm的球，為減少表面粗糙度，要鍍上一層銅，厚度為0.01cm，估計每只球需要用銅多少克?(銅的密度為8.9g/cm3)

解 所鍍銅的體積為球半徑從1cm增加0.01cm時，球體的

增量。故由πr3知，所鍍銅的體積為

·Δr=4π×0.01=0.04π，質(zhì)量為m=0.04π·8.9g=1.2g 。

本例思考 利用公式f (x0+Δx)≈ f (x0)+f ′ (x0)Δx計算函數(shù)近似值時，關(guān)鍵是選取函數(shù)f (x)的形式及正確選取x0、Δx。一般要求 f (x0)、 f ′ (x0)便于計算，|Δx|越小，計算出的函數(shù)值精確度越高。另外，在計算三角函數(shù)的近似值時，Δx必須換成弧度。

[課堂練習及講評] (略)

[本課小結(jié)]

1.微分概念及其幾何意義

2.基本初等函數(shù)微分公式

3.微分運算法則、微分形式不變性

4.微分在近似計算中的應(yīng)用——四個公式

【參考文獻】

[1]孫薇榮等.微積分[M].高等教育出版社，2004.

[2]任開隆.實用微積分[M].高等教育出版社，2004.

[3]趙強.淺析高職數(shù)學課程教學的研究與實踐[J].時代教育，2011(8).