高職班“微分”教學設計方案

【摘 要】微分是《微積分》的一個重要的基本概念，是函數增量的一種近似表達，微分概念的正確理解和掌握是學習后續積分知識的基礎。正方形鐵皮熱脹冷縮，其面積會隨邊長的絕對值意義上的微小改變而改變，可利用這個經典例子直觀引入微分概念，效果會很好。講授微分，宜運用啟發式教學，強化微分幾何意義的直觀理解，精講多練，重視利用微分作近似計算在實際問題中的應用。

【關鍵詞】微分 直觀 近似計算

第一部分:課程設置分析

課程的地位 《微積分》是我院機電工程系、信息技術系、車輛工程系、電子電氣系各專業的一門必修公共課，是學生提高文化素質和學習有關專業知識、專門技術及獲取新知識能力的重要基礎。主要講授極限與連續，導數、微分及其應用，積分及其應用等一元函數微積分的內容。要注意引導學生在其他課程和實踐中使用數學，使學生認識數學的實用價值和經濟價值，逐步形成數學意識，提高學生分析和解決實際問題的能力。

本次課的地位 本次課的主要內容是微分。微分是《微積分》的一個重要的基本概念，它與導數概念既密切相關又有本質區別。導數反映函數變化的快慢程度，而微分則是函數增量的一種近似表達，在實際問題中經常利用微分作近似計算。微分概念的正確理解和掌握是學習后續積分知識的基礎，關于導數和微分兩者關系的處理，突出微分的地位更有意義。

教學設計理念與思路 學院以突出職業能力培養為導向，在加強實踐性教學、壓縮基礎課教學的實踐中做出了大膽的嘗試，各專業新的培養方案要求在高職的數學教育中，把培養數學素質作為教學過程的主線，加強對學生進行數學知識應用能力的培養，從而使學生的數學知識、能力、素質得到協調發展。根據教學大綱要求和當前職業教育改革的先進理念，本次課運用啟發式教學，精講多練，突出重點與難點，重視利用微分作近似計算在實際問題中的應用。

第二部:教學設計分析

一、教學目標

1.理解微分的概念及其幾何意義。

2.了解微分的四則運算法則，能運用。

3.能運用一階微分形式不變性求復合函數的微分。

4.能利用微分作近似計算。

二、教學重點和難點

重點:1.一階微分形式不變性的理解和運用;2. 在實際問題中利用微分作近似計算。

難點:微分概念及其幾何意義的理解。

三、教學方法

根據教學大綱要求和當前職業教育改革的先進理念，本次課運用啟發式教學，突出重點與難點;對于微分概念可采取由個別到一般、由具體到抽象等分析方法讓學生深入領悟其思想方法;通過典型例題的分析講解和一定數量的練習，精講多練，讓學生掌握好計算微分的方法與技巧;重視利用微分作近似計算在實際問題中的應用。

四、教學設計

[板書設計]將黑板劃分為左中右三塊，中塊和右塊主要用來書寫即寫即擦的內容，如舊課復習、新課引入、例題示范、練習講評等。新課知識要點寫在左邊，如微分定義的幾個表達式、微分形式的不變性、計算微分的方法小結、4個近似計算公式等。

[舊課復習] 通過實例或課堂練習復習復合函數求導。

[新課引入] 正方形鐵皮熱脹冷縮，其面積會隨邊長的絕對值意義上的微小改變而改變，利用這個經典例子直觀引入微分概念。

[新課講授] 微分

1. 定義:或.

.因此有.

2. 微分幾何意義:當自變量發生絕對值意義上的微小改變時函數在其切線方向上的改變量，這就是函數的微分.

3. 基本初等函數微分公式，微分運算法則，微分形式不變性.(表)

例 求函數的微分。

解一 用微分的定義求微分， 有

.

解二 利用一階微分形式不變性和微分運算法則求微分，得

.

本例小結 求函數微分的方法:利用微分的定義，利用微分的運算法則，利用一階微分形式不變性，各方法的綜合運用等。

4. 應用微分進行近似計算的4個公式。

例 有一批半徑為1cm的球，為減少表面粗糙度，要鍍上一層銅，厚度為0.01cm，估計每只球需要用銅多少克?(銅的密度為8.9g/cm3)

解 所鍍銅的體積為球半徑從1cm增加0.01cm時，球體的

增量。故由πr3知，所鍍銅的體積為

·Δr=4π×0.01=0.04π，質量為m=0.04π·8.9g=1.2g 。

本例思考 利用公式f (x0+Δx)≈ f (x0)+f ′ (x0)Δx計算函數近似值時，關鍵是選取函數f (x)的形式及正確選取x0、Δx。一般要求 f (x0)、 f ′ (x0)便于計算，|Δx|越小，計算出的函數值精確度越高。另外，在計算三角函數的近似值時，Δx必須換成弧度。

[課堂練習及講評] (略)

[本課小結]

1.微分概念及其幾何意義

2.基本初等函數微分公式

3.微分運算法則、微分形式不變性

4.微分在近似計算中的應用——四個公式

【參考文獻】

[1]孫薇榮等.微積分[M].高等教育出版社，2004.

[2]任開隆.實用微積分[M].高等教育出版社，2004.

[3]趙強.淺析高職數學課程教學的研究與實踐[J].時代教育，2011(8).