對“64=65”的探究

“綜合與實踐”是《義務教育數學課程標準》的一個特色，提供給學生一種實踐性、探索性和研究性學習課程渠道。它以探究為主線，旨在培養學生分析問題和解決問題的能力。本文以新課標“綜合與實踐”提供的課例為依據，進行再實踐、再探究。

有一張8 cm×8 cm的正方形紙片，面積是64 cm2。把這張紙片按圖一所示剪開，把剪開的四個小塊按圖二重新拼合，這樣就得到一個長為13 cm，寬為5 cm的長方形，面積是65 cm2。這是可能的嗎？

這是一個直覺與邏輯不符的例子，希望學生通過學習體會到：對于數學的結論，完全靠直覺判斷是不行的，還需要通過其他方法來驗證。在實際教學中可以引導學生先看圖一，再讓學生動手分組剪開，進而拼成圖二，動手操作發現矛盾（64=65）。然后嘗試找出理由并證明，最后表達收獲。

一般來說，學生應當不會相信圖二中紙片的面積為65 cm2，

但又無法說明為什么觀察的結果是錯誤的。進一步引導學生思考，如果觀察是錯誤的，那么錯誤會出現在哪里呢？學生通過邏輯思考，可以推斷只有一種可能：就是圖二中A、B、C三點不在一條直線上。可以告訴學生，這個想法是正確的，但最好給以證明，引導學生經歷一個由合情推理到演繹推理的過程。

證法一：演示證明，把三角形和直角梯形如圖三拼接，由∠E=90°，利用幾何畫板度量得：∠BAD=20.56°，∠BCE=67.17°，即

∠BAD+∠BCE=88.73°≠90°，這說明A、B、C三點不在一條直線上（由于相差很小，用量角器無法度量出來，肉眼也看不出來），即

AECB是四邊形。

證法二：假如圖二中A、B、C三點在同一條直線上，如圖四，有∠1+∠3=90°，過D作DF⊥AC于F，因為∠2+∠3=90°。所以∠1=∠2，由相似三角形的判定定理可知△ABC≌△DEF，對應邊成比例 證 這種用代數的方法解決幾何問題，方法簡單，直觀快捷，也體現了數形結合思想，它是訓練學生跨領域探究知識的方法。

以上三種方法都驗證了A、B、C三點不在一條直線上，到底圖二實際圖形是什么樣子呢？借助幾何畫板的旋轉，圖六是拼接長方形的本來面目：外框是長方形，中間不能無縫對接，內有一個平行四邊形的空隙，因而面積多了1 cm2。

本題以面積矛盾為線索，以證明不共線的三點為載體，通過動手度量的方法、演繹推理的方法以及函數的方法證明了三點不共線，同時適時使用信息技術手段，為學生更準確地認識圖形提供了方便。通過對本題的再探究，開闊了學生的視野，拓寬了解題思路，發展了學生綜合運用知識的能力，達到了“綜合與實踐”的教學目標。

（作者單位 陜西省商南縣教學研究室）