辦法總比困難多，一題多解教學樂

學好數學離不開解題，而數學習題浩如煙海，變化無窮，我們該怎么辦呢？我們可以提高習題的利用率來提高解題的能力。在解題教學中可通過典型例題的解題教學及解題訓練，尤其是一題多解、一題多變及多題歸一等變式訓練，達到使學生鞏固與深化所學知識，提高解題技巧及分析問題、解決問題的能力，增強思維的流暢性、變通性和獨創性的目的。把枯燥無味的數學學習變得有趣多樣，從而形成快樂學習的氛圍。下面我從三個方面三個例子來談談我在進行一題多解教學中的感受：

一、利用一題多解，震撼學生心靈，激發學生學習數學的學習興趣

在學習一元二次方程根與系數的關系時，學生做了這樣的一道習題：

例1.如果7是關于x的一元二次方程x2+mx-21=0的一個根，

求該方程的另一根及m的值。

講解時我不動聲色地認認真真地講解大家所采用的常規方法，也就是將7代入原方程求得m的值，再將m的值代入原方程中求得兩根，從中挑出另一根，并詳細地板書在黑板上，細細想來利用這種方法解題有許多學生感到心理有點不順暢。然后我再請出韋達先生來幫忙：設另一根為x1，依題意可得：7+x1=-m

7x1=-21，解得：x1=-3

m=-4。學生被這么簡捷地解決一個感覺繁瑣的問題而震撼了，怎么可以這么簡單呢？當然在被震撼的同時，學生也就接受了根與系數的關系這一重要性質，并會主動去思考如何應用了。

二、利用一題多解，引導學生開拓思路，提高解題能力，培養良好的思維習慣

以鷺江出版社出版的《新課程中考復習指導叢書——數學》

一書中空間與圖形中的一題為例：

例2.如圖，AB是⊙O的直徑，AE是弦，點

C是弧AE中點，CD⊥AB于D，交AE于F。

求證：AF=CF

很多同學在分析這道題時，感到題目所給條件簡單，不知該從何處下手，下面是我在教學中利用一題多解的方法進行講解并引導學生如何切入審題。

方法一：AB是⊙O的直徑→（連結AC、BC）∠ACB=90°，又CD⊥AB（形成雙直角三角形）∠ACD=∠B，結合條件“點C是弧AE中點”得到∠CAE=∠B，得∠ACD=∠CAE，從而得證。

這個證法是從第一條件推理“直徑所對的圓周角等于90°”，并綜合利用第三個條件“CD⊥AB”引發聯想“雙直角三角形”，再由弧的中點推理“等弧所對的圓周角相等”“等量代換”“等角對等邊”思維簡潔流暢。

方法二：點C是弧AE中點→（連結OC交AE于G）OC⊥AE，又CD⊥AB，→∠CDA=∠CGF=90°，而∠DFA=∠CFG→∠FAD=∠GCF，又OC=OA→∠CAO=∠OCA，得∠ACD=∠CAE，從而

得證。

這個證法是從第二個條件引發聯想“連結OC”形成垂徑定理推論的條件，并綜合利用第三個條件“CD⊥AB”引發推理“等角的余角相等”“等邊對等角”“等量減等量差相等”“等角對等邊”思維流暢，就是圖形有點復雜，角處在交錯的線條之中。

方法三：CD⊥AB→（延長CD交⊙O于點H）弧AH=弧AC，又點C是弧AE中點，弧AE=弧AC，故弧CE=弧AC，→∠ACD=∠CAE，從而得證。

這個證法是從第三個條件引發聯想“延長

CD”形成垂徑定理，再利用推理“等量代換”“等弧所對的圓周角相等““等角對等邊”，思維簡潔流暢，學生進行對比后自然會發現方法三最為簡潔明了。

本題題目僅給出了三個條件，以上方法中介紹了從每一個條件進行挖掘、聯想都可產生不同的證法，思路都很順暢，從而對學生的思維產生了震撼作用，在反思總結中，從這道題中有效地感受到了應該如何分析題目形成解題思路。

三、在進行題目講解時，注意運用一題多解歸納出常規的推理，避免產生思維紊亂、走彎路的現象

以2009年龍巖市中考題為例：

例3.如圖，已知點E在△ABC的邊AB上，以AE為直徑的⊙O與BC相切于點D，且AD平分∠BAC。求證：AC⊥BC。

從評卷結果來看，應該說是一道比較簡單的幾何證明題，按

理大部分同學應該能拿下這一題的，但從平均分看卻讓人比較不滿意，只有5.58分，得分率僅為55.8%。存在證明思路紊亂、書寫不規范、證明的條件不夠就下結論，甚至變更題設條件：∠1=30°等錯誤。考生考卷中出現了九種證法之多，有些就難免出現條件累贅、反復，走彎路、繞圈子的現象。

下面這道題是人教版九年級上冊第103頁第14題的變式，原題如下：

如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD和過C點的切線互相垂直，垂足為D，求證AC平分∠DAB。

很明顯，試題僅是把題設中的一個條件和結論進行了調換，而解題思路沒有改變。

本題如果不作輔助線是無法解決問題的。首先條件“⊙O與DC相切于點C”無法用，而切線的常用輔助線有兩種：①連半徑，得垂直；②作垂直，得半徑。指導學生歸納出這些知識并形成常規的推理，我想學生在考試時就不會出現“ 條件累贅、反復，走彎路、繞圈子”的現象了。

以上現象的發生提醒我們在平時教學中要多利用一題多解進行對比教學，讓學生形成良好的審題習慣，培養思維的條理性，在審題中較快找到切入點，形成一些常規的推理，看到什么條件就聯想到什么，例2就是一個典型的例子。

總之，一題多解是數學題解教學中的一種常用方法，是培養、提高學生思維能力、創新能力、分析問題、解決問題能力的有效方法。只要我們能善于運用，積極引導學生運用，就能培養學生創新能力和創造性的思維能力，而且也能減輕學生學習數學的負擔，還

能提高學生學習數學的效率，從而增強學生學習數學的興趣，讓

學生感到“辦法總比困難多”的信心和勇氣，真正發揮一題多解在中學數學教學中應有的作用。

（作者單位 福建省永定縣第三中學）