夯實基礎 提高計算 注重方法

解析幾何一直是高考解答題的名片之一，在江蘇高考試卷中一直位于18題的位置，今年是19題的位置，滿分分值為16分，

一般都有2～3小問。第一問一般比較簡單，最后一問一般都較難，屬于難題范疇。解析幾何的考查內容從原來以直線與圓為主到最近幾年流行的直線與橢圓，無論從計算量還是難度都在逐年提高，

使得學生對解析幾何的解答題產生了畏懼心理，怕下筆，很難得到滿分。

解析幾何的課程體系，是以坐標法為核心，依“直線與方程—圓與方程—圓錐曲線與方程—極坐標與參數方程”為順序，循序漸進，螺旋式展開的。在必修2中開設平面解析幾何，初步要求學生在平面直角坐標系中建立直線與圓的代數方程，運用代數方法研究他們的幾何性質及直線與直線、直線與圓、圓與圓的位置關系，并了解空間直角坐標系。形成用代數的方法解決幾何問題的理念，初步體會數形結合的數學思想。在選修1-1或2-1中設置圓錐曲線與方程，掌握圓錐的定義、統一定義、幾何性質及直線與圓錐曲線的關系。掌握曲線與方程的關系，進一步體會數形結合的思想。在模塊4-4（理科學生選修）中設置“坐標系與參數方程”，掌握極坐標與參數方程的概念，并用極坐標及參數方程表示直線、圓、圓錐曲線。了解曲線的多種表示形式，從實際中抽象出數學問題，提高探究數學問題的能力，培養實際應用意識和實踐能力。

學生怕做解析幾何題，做不好解析幾何題的主要問題有以下四點：第一，解析幾何主要是“用代數的方法解決幾何的問題”，所以要注意幾何問題的代數化，要分析建立直角坐標系以后需要得到些什么，這種分析問題的能力是學生的第一弱點。第二，解析幾何在解題中要有幾何的眼光，要注意數形結合的思想。初中階段平面幾何的一些性質對解題往往有很大的幫助。正確處理“代數求解”與“幾何直觀”的關系，是學生解題中的第二弱點。第三，解析幾何的解題中需要很強的計算能力，很多學生因為解題過程中冗長的計算而最后放棄。計算能力是學生的第三弱點。第四，解析幾何的代數變形需要一定的綜合能力。三角、向量、方程等等都會在變形中出現，而這種綜合能力不是一蹴而就的，而是需要逐步培養的。

那么，如何做好解析幾何的解答題？我覺得關鍵是夯實基礎、提高計算、注重方法。

一、夯實基礎知識

要做好解析幾何題，首先必須熟練掌握好直線與圓。直線方程和圓的方程都是C級要求，因此是高考的必考內容。2008—

2010連續三年都在大題中考了直線與圓的位置關系，2011—2012年高考大題中都以橢圓為載體，來考查直線的知識，顯示了直線知識的基礎性和應用性。所以，直線方程的五種形式以及直線方程的求法要熟練掌握；圓的標準方程和一般方程要靈活運用，熟

練掌握圓的方程的求法；將橢圓作為背景材料，考查直線與圓的問題，應重點關注。

其次，圓錐曲線部分，只有橢圓是B級要求，其余都是A級要求。從近幾年江蘇高考題來看，主要體現對橢圓定義、標準方程、離心率、準線等常見知識的考查，在解答題中一般出現在第一小問，以中檔題為主。熟練掌握橢圓的標準方程、幾何性質、第二定義這些基礎知識，做好第一問就邁出了成功做好解析幾何題的第一步。

二、提高計算能力

高考解析幾何題都需考查學生的數學運算能力，再加上其本身是用代數的方法來解決幾何的問題，所以對學生的代數變形、計算能力要求較高，題中又主要以字母為主，有時學生雖然有解題的思路，但是由于不具備一定的計算能力，最后還是解不出來。2010—2012年的高考解析幾何的最后一問主要就是考查學生的計算能力，當然如果加上適當的技巧方法可以使計算相對簡單一些，但是還是逃不了“算”這一關。所以，就現在高考命題的趨勢，想要在解析幾何題中得到高分，必須提高運算的能力，特別是以字母為主的代數計算。其中主要包括點與點的距離、點與直線的距離、直線中交點的計算、斜率的計算、恒等變換、解方程組、定點定值計算。在平時的作業及練習中，要注意訓練，運算的能力是必須通過自身的練習才能得以提高的，看老師講10道題也不及自己親手做一道題。平時很多學生在做題時，遇到最后一問就等著老師講、老師算，最后導致他們眼高手低，也就是遇到題目，有解題的思路，但是就是做不對。“拳不離手、曲不離口”，要想數學好，經常地解題是必須的。

三、注重解題方法

探究性問題、最值、定值問題在近幾年的高考題中備受青睞。解決探究性問題對觀察、聯想、類比、猜想、抽象、概括等方面的能力有較高的要求。定值、最值問題不僅考查函數思想、方程思想，而且對運算求解能力、推理論證能力及抽象概括能力都有一定的要求。在基礎扎實、運算過關以后，我們在解答解析幾何題中還要注意靈活運用各種方法。下面舉例來具體說明，主要分析最后一問中方法的選擇問題。

例1.已知橢圓的中心為坐標原點O，橢圓短軸長為2，動點M（2，t）（t>0）在橢圓的準線上。

（1）求橢圓的標準方程；

（2）求以OM為直徑且被直線3x-4y-5=0截得的弦長為2的圓的方程；

（3）設F是橢圓的右焦點，過點F作OM的垂線與以OM為直徑的圓交于點N，求證：線段ON的長為定值，并求出這個定值。

這道題的第（3）小問可以用代數的方法由點M的坐標得到直線OM的斜率，然后求直線FN，再求直線FN與圓的交點N，從而得到結果，但是計算量很大。但是如果我們從幾何元素來解決的話，只要先用射影定理ON2=OP·OM，再根據∠MPF+∠MHF=180°所以P、F、H、M四點共圓，利用圓中的割線長定理OP·OM=OF·OH，則口算即可得到結果。

（a>b>0）和圓O：x2+y2=b2，過橢圓上一點P引圓O的兩條切線，切點分別為A，B.

（1）①若圓O過橢圓的兩個焦點，求橢圓的離心率e的值；

②若橢圓上存在點P，使得∠APB=90°，求橢圓離心率e的取值范圍；

在點P使OP=2ON，又直線AB與圓相離，所以只要轉化為點O到直線AB的距離d滿足r

通過以上幾例可以看出，有時看似復雜的解析幾何題，通過分析，選對方法后，也不是不可攻破的。要注意代數與幾何的相互為用。先用幾何的眼光觀察，明確面臨的幾何問題是什么，再用坐標法推理、論證、求解。平時做解析幾何題時要注意總結，積累方法，辯證地考慮代數關系的幾何意思，幾何問題的代數表示。這樣解析幾何解答題的最后一問也可以被征服。

解析幾何題雖然有難度，但是相信“夯實基礎知識、提高計算能力、注重解題方法”必對學生有所幫助。作為教師，要讓學生從接觸解析幾何的第一天起，就感受其內容的核心與精華，了解這段內容的學習方法和研究方法，提高探究數學問題的能力，培養實際應用意識和實踐能力。

（作者單位 江蘇省吳江中學）